Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 31.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien V, W und U endlichdimensionale VR über einem Körper K. Seien [mm] f: V \to W [/mm] und [mm] g: W \to U [/mm] linear. Seien f injektiv, g surjektiv und Bild(f)=Kern(g).
Bweisen Sie, dass [mm] dim(W)=dim(V)+dim(U) [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mein Beweis geht folgendermassen:
f injektiv bedeutet Kern(f)=0
Daraus folgt:
dim(V)=dim(Bild(f))+0, also ist dim(V)=dim(W)
Wenn Bild(f)=Kern(g) sein soll, dann ist W der Kern von g und damit muss g die Nullabbildung sein. Damit ist U={0} und dim(U)=0.
Dann gilt:
dim(W)=dim(V)+0
Stimmt dieser Beweis ?
Ich habe eine Lösung zu diesem Beweis, wo viel mit dem Homomorphiesatz und V/Kern(f) argumentiert wird, also völlig anders als meine Beweisführung.
Danke, Susanne.
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> Seien V, W und U endlichdimensionale VR über einem Körper
> K. Seien [mm]f: V \to W[/mm] und [mm]g: W \to U[/mm] linear. Seien f
> injektiv, g surjektiv und Bild(f)=Kern(g).
> Bweisen Sie, dass [mm]dim(W)=dim(V)+dim(U)[/mm] gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Mein Beweis geht folgendermassen:
> f injektiv bedeutet Kern(f)=0
> Daraus folgt:
> dim(V)=dim(Bild(f))+0, also ist dim(V)=dim(W)
Hallo,
dieser Folgerung folge ich nicht.
Es ist dimV=dimBildf + dimKernf=dimbildf,
aber daß das =dimW ist, sehe ich nicht, denn es ist ja nicht vorausgesetzt, daß f surjektiv ist.
> Ich habe eine Lösung zu diesem Beweis, wo viel mit dem
> Homomorphiesatz und V/Kern(f) argumentiert wird, also
> völlig anders als meine Beweisführung.
Hmm. Ich würde das mit den genannten Eigenschaften der Funktionen und dimV=dimV=dimBildf + dimKernf und dimW=dimBildg + dimKerng machen wollen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Do 31.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
VIELEN DANK Angela !
Ja, klar, mein Fehler war, dass ich Bild(f)=W gesetzt habe, und das kann man ja nicht vorraussetzen.
Danke.
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