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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Dim eines Skalarprodukts
Dim eines Skalarprodukts < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dim eines Skalarprodukts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Di 20.11.2007
Autor: trivialesmathe

Aufgabe
Es sei V ein $ [mm] \IR-Vektorraum [/mm] $ mit Skalarprodukt der Dimension dim V = n. Weiter seien [mm] \phi_1,...\phi_n \in [/mm] V* gegeben.
Zeigen Sie: Genau dann ist [mm] (\phi_1, \phi_n) [/mm] in V* linear abhängig, wenn es ein v [mm] \in [/mm]  V\ {0} gibt, so dass [mm] \phi [/mm] (v) = 0 für i=1, ..., n gilt.

Hallo! Kann mir jemand zu dieser Aufgabe nen Denkanstoß  geben? ich steh grad glaub ich auf dem Schlauch!
Wäre super nett! Gruß

        
Bezug
Dim eines Skalarprodukts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Di 20.11.2007
Autor: angela.h.b.


> Es sei V ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] mit Skalarprodukt der Dimension
> dim V = n. Weiter seien [mm]\phi_1,...\phi_n \in[/mm] V* gegeben.
>  Zeigen Sie: Genau dann ist [mm](\phi_1, \phi_n)[/mm] in V* linear
> abhängig, wenn es ein v [mm]\in[/mm]  V\ {0} gibt, so dass [mm]\phi[/mm] (v)
> = 0 für i=1, ..., n gilt.
>  Hallo! Kann mir jemand zu dieser Aufgabe nen Denkanstoß  
> geben? ich steh grad glaub ich auf dem Schlauch!
>  Wäre super nett! Gruß

Hallo,

einen Fehler, den wir heute schonmal hatten, entnehme ich Deiner Überschrift:

ein Skalarprodukt hat keine Dimension. (Was sollte das auch sein???)


Sondern: Du hast in Deiner Aufgabe einen Vektorraum der Dimension n, und auf diesem ist ein Skalarprodukt definiert.

> Weiter seien [mm]\phi_1,...\phi_n \in[/mm] V* gegeben.

Hier mußt Du wissen, was [mm] V^{\*} [/mm] ist: es ist der Vektorraum der Linearformen von V, also sämtlicher Homomorphismen v. V nach [mm] \IR. [/mm]
Somit sind die [mm] \Phi_i [/mm] solche Homomorphismen.

Ich hoffe, daß Dir mit diesen Informationen ein Beginn möglich ist.

Gruß v, Angela


Bezug
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