Dim des Untervektorraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Do 21.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo hab da eine kleinere Frage wo ich mir nicht ganz sicher bin:
Sei K der Körper [mm] (Z_{5},+,*) [/mm]
V = [mm] K^{3}
[/mm]
[mm] U_{1} [/mm] = {(x,y,z)|x+z = 0}
Um jetzt die Anzahl der Elemente in U zu bestimmen muss ich die dim von U
bestimmen da |U| = [mm] |K|^{n} [/mm] n.....Anzahl der Basen in U
Ich weiß man kann dass jetzt umständlcih machen indem man alle Elemente
von U auflistet und sie dann auf lineare Unabhängigkeit überprüft, aber
normalerweise gilt doch die Regel:
x + z = 0 ...... x = -z
Da ich x durch einen Parameter z ausdrücken kann ist die dim = 1.
Nur ist das falsch...denn die dim ist leider 2. Wieso gilt diese Regel hier
nicht? Denn ich kann ja wohl kaum bei jedem Bsp. alle Elemente des
Unterraumes aufschreiben, zumahl der Unterraum hier noch einfach gehalten ist? Was mache ich falsch?
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Gruß!
Naja, der Denkfehler liegt einfach darin, dass Du das $y$ vergessen hast.
Natürlich gilt $x = -z$, aber $y$ ist beliebig bei den Vektoren aus $U$ und damit ist dieser Raum zweidimensional: Du hast zwei frei wählbare Koordinaten ($x$ und $y$ oder $z$ und $y$, je nach Geschmack), welche die dritte bestimmen.
Alles klar? 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 21.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Danke jetzt ists mir klar...habs einfach übersehen.
Jetzt hab ich aber dann noch eine Frage:
Das Beispiel ist zwar so klar alleine vom Ansehen her aber ich will eben wieder
diese eine Universalregel anwenden können.
L = {(x,y)|x+y = 1} ist Teilmenge des Vektorraums [mm] (Z_{2})^{2}
[/mm]
Darf ich hier nicht einfach so die Regel anwenden da die lineare Hülle
, sprich alle Linearkombinationen gegeben sind und nicht der Unterraum
explizit denn die Dim ist ja 2, aber nach der Regel halt wieder nur 1.
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Hallo!
Dein Beispiel ist problematisch, weil $L$ kein Unterraum von [mm] $\IZ_2^2$ [/mm] ist, es gibt also auch keine Basis. Allerdings läßt er sich darstellen als [mm] $L=\vektor{1\\0}+\IZ_2\vektor{1\\1}$, [/mm] es ist also ein eindimensionaler affiner Unterraum von [mm] $\IZ^2_2$.
[/mm]
Nach der Regel gilt dann
[mm] $\mathrm{dim}L=|\IZ_2|^1=2$.
[/mm]
Und das stimmt auch offensichtlich, da ja [mm] $L=\left\{\vektor{1\\0};\vektor{0\\1}\right\}$.
[/mm]
Gruß, banachella
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