Digamma-Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 10.04.2012 | | Autor: | lyx |
Hallo an alle,
ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Ich habe folgendes Probelem:
Gegenben ist eine Summe folgender Form
l(x) = [mm] \sum_{i=1}^{n} \frac{0.5s}{h^2+(p+(i-1)d-x)^2}
[/mm]
wobei s,h,p,d Parameter sind.
Wenn ich nun l(x) in ein Computer Algebra System (ich habe es mit Maple und WolframAlpha probiert) eingebe, geben diese mir als Ergebnis der Summe folgenden Ausdruck an
l(x) = [mm] \frac{I \cdot s \cdot (\Psi (\frac{nd+p-x+hI}{d}) - \Psi(\frac{nd+p-x-hI}{d}) +\Psi(\frac{p-x-hI}{d}) - \Psi(\frac{p-x+hI}{d}) )}{4dh}
[/mm]
Wobei I die komplexe Einheit und [mm] \Psi [/mm] die Digamma-Funktion ist
Ich würde gern nachvollzeihen wie die CAS darauf kommen. Ich kenne mich mit der Handhabung der Digamma Funktion nicht besonders gut aus. Bis jetzt weis ich nur, dass es einen Zusammenhang zwischen der Digamma-Funktion und der harmonischen Reihe fogender form gibt:
[mm] \Psi(m) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k} [/mm] - [mm] \gamma [/mm]
Ich vermute, dass ich diesen Zusammenhang irgendwie nutzen kann aber ich weis nicht wie. gibt es noch andere Sätze die ich verwenden kann?
Weis jemand von euch wie die CAS auf das Ergebniss kommen?
ich danke euch für eure Hilfe
Viele grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Di 10.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo an alle,
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> ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
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> Ich habe folgendes Probelem:
>
> Gegenben ist eine Summe folgender Form
>
> l(x) = [mm]\sum_{i=1}^{n} \frac{0.5s}{h^2+(p+(i-1)d-x)^2}[/mm]
>
> wobei s,h,p,d Parameter sind.
>
> Wenn ich nun l(x) in ein Computer Algebra System (ich habe
> es mit Maple und WolframAlpha probiert) eingebe, geben
> diese mir als Ergebnis der Summe folgenden Ausdruck an
>
> l(x) = [mm]\frac{I \cdot s \cdot (\Psi (\frac{nd+p-x+hI}{d}) - \Psi(\frac{nd+p-x-hI}{d}) +\Psi(\frac{p-x-hI}{d}) - \Psi(\frac{p-x+hI}{d}) )}{4dh}[/mm]
>
> Wobei I die komplexe Einheit und [mm]\Psi[/mm] die Digamma-Funktion
> ist
Setze $A := [mm] \frac{p - x}{d}$ [/mm] und $B := [mm] \frac{h I}{d}$. [/mm] Dann steht da [mm] $\frac{I s \cdot ((\Psi(n + A + B) - \Psi(A + B)) - (\Psi(n + A - B) - \Psi(A - B)))}{4 d h}$.
[/mm]
Verwendest du jetzt [mm] $\Psi(x [/mm] + 1) = [mm] \Psi(x) [/mm] + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] und damit [mm] $\Psi(x [/mm] + n) = [mm] \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{x + 1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \frac{1}{x + n - 1}$, [/mm] so vereinfacht sich das zu [mm] $\frac{I s \cdot \bigl( \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{A + B + i} - \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{A - B + i} \bigr)}{4 d h} [/mm] = [mm] \frac{I s}{4 d h} \sum_{i=1}^n \frac{-2 B}{(A + B + i - 1) (A - B + i - 1)}$.
[/mm]
Wenn du jetzt noch etwas weiter umformst, wirst du vermutlich auf deinen urspruenglichen Ausdruck kommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:57 Mi 11.04.2012 | | Autor: | lyx |
Guten Morgen
danke für deine Antwort! Ich kann es auch fast alles nachvollziehen und es kommt auch das geswünschte Ergebniss raus. Aber ich verstehe nicht ganz wie du von
[mm] \Psi(x [/mm] + 1) = [mm] \Psi(x) [/mm] + [mm] \frac{1}{x} [/mm]
auf
[mm] \Psi(x [/mm] + n) = [mm] \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{x + 1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \frac{1}{x + n - 1}
[/mm]
kommst. Könntest du oder jemand anderes mir das bitte noch erklären?
danke und viele Grüße
lyx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Mi 11.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen
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> danke für deine Antwort! Ich kann es auch fast alles
> nachvollziehen und es kommt auch das geswünschte Ergebniss
> raus. Aber ich verstehe nicht ganz wie du von
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> [mm]\Psi(x[/mm] + 1) = [mm]\Psi(x)[/mm] + [mm]\frac{1}{x}[/mm]
>
> auf
>
> [mm]\Psi(x[/mm] + n) = [mm]\frac{1}{x}[/mm] + [mm]\frac{1}{x + 1}[/mm] + [mm]\dots[/mm] +
> [mm]\frac{1}{x + n - 1}[/mm]
>
> kommst. Könntest du oder jemand anderes mir das bitte noch
> erklären?
Ich denke, dass Felix sich verschrieben hat und es lautet:
[mm]\Psi(x[/mm] + n) = [mm] \Psi(x)+[/mm] [mm]\frac{1}{x}[/mm] + [mm]\frac{1}{x + 1}[/mm] + [mm]\dots[/mm] + [mm]\frac{1}{x + n - 1}[/mm]
Diese Gleichung kannst Du mit vollständiger Induktion leicht beweisen.
FRED
>
> danke und viele Grüße
> lyx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mi 11.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > danke für deine Antwort! Ich kann es auch fast alles
> > nachvollziehen und es kommt auch das geswünschte Ergebniss
> > raus. Aber ich verstehe nicht ganz wie du von
> >
> > [mm]\Psi(x[/mm] + 1) = [mm]\Psi(x)[/mm] + [mm]\frac{1}{x}[/mm]
> >
> > auf
> >
> > [mm]\Psi(x[/mm] + n) = [mm]\frac{1}{x}[/mm] + [mm]\frac{1}{x + 1}[/mm] + [mm]\dots[/mm] +
> > [mm]\frac{1}{x + n - 1}[/mm]
> >
> > kommst. Könntest du oder jemand anderes mir das bitte noch
> > erklären?
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> Ich denke, dass Felix sich verschrieben hat und es lautet:
>
> [mm]\Psi(x[/mm] + n) = [mm]\Psi(x)+[/mm] [mm]\frac{1}{x}[/mm] + [mm]\frac{1}{x + 1}[/mm] +
> [mm]\dots[/mm] + [mm]\frac{1}{x + n - 1}[/mm]
Genau, das sollte da stehen. Bzw. [mm] $\Phi(x [/mm] + n) - [mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \frac{1}{x + n - 1}$, [/mm] was schliesslich das ist was man hier braucht.
LG Felix
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