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Hi Ihrs,
ich habe folgende Aufgabe:
seinen [mm] x_{o},y_{0} \in \IR. [/mm] Bestimme die Lösung y der Differentialgleichung
[mm] y'=(x-y+3)^{2}
[/mm]
mit [mm] y(x_{o})=y_{0}
[/mm]
Der Anfang ist kein Problem dazu muss ich ja einfach nur schreiben:
[mm] \bruch{y'}{(x-y+3)^{2}} [/mm] dann habe ich aufjedenfall
F(x)= [mm] \integral_{x_{0}}^{x} [/mm] {1 [mm] dt}=x-x_{0}
[/mm]
Jetzt stellt sich nur das Problem wie bestimme ich nun das Integral [mm] \integral_{y_{0}} ^{\mu (x)} {\bruch{1}{g(y)} dy}
[/mm]
kann ich einfach eine Substitution mit z=x-y+3 durchführen und erhalte für [mm] z'=4+z^{2}?
[/mm]
Oder muss ich da ganz anders dran gehen???
Schon mal danke für eure Antworten.
Alles Liebe
Christin
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Christin,
statt die Funktion y(x) zu betrachten, wird hier die Funktion u(x) mit
[mm]u(x)\; = \;x - y + 3[/mm]
betrachtet.
Ist y(x) eine Lösung, so gilt für u(x):
[mm]u^{'}\; = \;1\; + \;y^{'} \; = \;1\; + \;u^{2} [/mm]
Das ist dann eine DGL für u:
[mm]u^{'}\; = \;1\; + \;u^{2} [/mm]
welche sich leicht lösen läßt.
Das gilt für alle DGLn dieser Bauart.
[mm]y'\; = \;f(ax + by + c)[/mm]
Statt y(x) wird u(x) betrachtet mit:
[mm]u\left( x \right)\; = \;a\;x\; + \;b\;y\left( x \right)\; + \;c[/mm]
Dann geht die DGL über in
[mm]u^{'}(x) = a + by^{'} (x)\; = \;a + bf(u)[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> statt die Funktion y(x) zu betrachten, wird hier die
> Funktion u(x) mit
>
> [mm]u(x)\; = \;x - y + 3[/mm]
>
> betrachtet.
>
> Ist y(x) eine Lösung, so gilt für u(x):
>
> [mm]u^{'}\; = \;1\; + \;y^{'} \; = \;1\; + \;u^{2}[/mm]
>
> Das ist dann eine DGL für u:
>
> [mm]u^{'}\; = \;1\; + \;u^{2}[/mm]
>
> welche sich leicht lösen läßt.
Wieso hast du da ein Plus stehen bei
[mm]u^{'}\; = \;1\; + \;u^{2}[/mm]
Wenn ich doch die Funktion u(x) ableite muss doch da hin:
[mm]u^{'}\; = \;1\; - \;u^{2}[/mm]
Wenn ich es mit dem minus mache, komme ich nämlich auf folgende Funktion
[mm] \integral_{z_{o}}^{z} {\bruch{1}{1-t^{2}} dt}= [/mm] artanh z - artanh [mm] z_{0}
[/mm]
Was ist die Umkehrfunktion von artanh ?
Danke!
VG
Christin
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Hallo Christin,
natürlich hast Du recht, da muss ein "-" stehen.
Es ist dann:
[mm]u^{'} \; = \;1\; - \;u^{2} [/mm]
Die Umkehrfunktion des artanh (area tangens hyberbolicus) ist der tanh (tangens hyberbolicus).
Gruß
MathePower
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