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Differenzierung von Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Mo 11.06.2012
Autor: db60

Aufgabe
Differenieren sie die folgende Funktion  dabei sind a,b [mm] \in \IR [/mm]

f(x) =  [mm] \integral_{15}^{x}{(\integral_{8}^{y} \bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t) }dt) dy} [/mm]

also ich weiß, dass ich die Ableitung so bilden kann :

f'(x) = H(G(x))*G'(x)  

In diesem Fall wäre mein  H(y) = [mm] (\integral_{8}^{y} \bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t) }dt) [/mm]

und mein G(x)=x

Nun verstehe ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt ?
Wie kann das eine Integral mit den Grenzen und y und 8 verschwinden. Mir ist auch aufgefallen, dass die untere Grenze des Integrals 8, nun die untere Grenze des äußeren Integrals ist ?

f'(x) = [mm] \integral_{8}^{x} \bruch{1}{1+x^{2}+sin^2(t)}dt [/mm]

Und warum sind konstante Integrationsgrenzen unrelevant ? Die Ableitung würde 0 ergeben ?

        
Bezug
Differenzierung von Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 Mo 11.06.2012
Autor: Richie1401

Abend,

ich habe mir bei der Aufgabe überlegt, was bei den einzelnen Integrationen herauskommen würde.

[mm] f(x)=\integral_{15}^{x}{(\integral_{8}^{y} \bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t) }dt) dy} [/mm]
[mm] =\integral_{15}^{x}(F(y)-C_1)dy=\integral_{15}^{x}F(y)dy-\integral_{15}^{x}C_1dy [/mm]
[mm] =F_2(x)-C_2-C_1x+C_3 [/mm]

Wobei [mm] C_i [/mm] zunächst Werte sind, die durch das Einsetzen der Grenzen entstehen.
Ableiten der Funktion f(x) nach x ergibt dann:
[mm] f'(x)=F(x)-C_1 [/mm]

Mit der Überlegung, was denn F(y) war und was [mm] C_1, [/mm] bekommt man dann
[mm] f'(x)=\integral_{8}^{x}\bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t)}dt [/mm]

Es gibt gewiss (!) noch intelligentere Lösungen, aber durch nichtexplizites Ausrechnen kommt man offensichtlich auch zum Ziel.

Bezug
        
Bezug
Differenzierung von Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:53 Mo 11.06.2012
Autor: fred97

Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall , g: I [mm] \to \IR [/mm] stetig und c [mm] \in [/mm] I.

Setzt man

   [mm] f(x):=\integral_{c}^{x}{g(y) dy} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b],

so besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung: f ist auf I differenzierbar und f'(x)=g(x) für x [mm] \in [/mm] I.

FRED

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