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| Aufgabe | Seien f und g zwei differenzierbare Funktionen von [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IC.
[/mm]
Beweisen Sie:
a) (f*g)'(z)=f'(z)*g(z)+f(z)*g'(Z), z [mm] \varepsilon \IC
[/mm]
Hinweis: Der Beweis funktioniert genauso wie im Reellen |
Hallo zusammen,
also wenn das ganze wie im Reellen funktioniert, gilt ja wie gewohnt:
(f*g)'=f'*g+f*g'
Wenn ich das jetzt beweisen soll, gehe ich erstmal über den Grentwert des Differenzenquotienten:
[mm] \limes_{(x+h)\rightarrow x} \bruch{(f*g)(x+h)-(f*g)(x)}{(x+h)-x}
[/mm]
[mm] =\limes_{(x+h)\rightarrow x} \bruch{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)}{(x+h)-x}
[/mm]
(Ist das bis hierhin richtig? Also verwende ich für de Funktion f und g jeweils die gleiche Variable "x" oder müsste ich hier für die Funktion g eine andere Variable wählen)
Falls es bis hierhin richtig ist, habe ich jetzt Umformungsschwierigkeiten:
Ich weiß ja schon, dass am Ende f ' *g+f*g ' rauskommen soll, mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten ausgedrückt müsste das ja wie folgt aussehen:
[mm] \limes_{(x+h)\rightarrow x} \bruch{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}*g(x) +\limes_{(x+h)\rightarrow x} \bruch{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}*f(x)
[/mm]
(=Zielterm)
Ich habe jetzt lange rumgerätselt, aber habe leider keine Idee, wie ich den obigen Term auf diese Form bringen könnte, nämlich:
-Oben bezieht sich der Limes ja auf den gesamten Term, wobei sich der Limes bei dem Zielterm ja nur jeweils auf f'(x) bzw g'(x) bezieht(?)-
mit welchem Rechengesetz darf ich das mathematisch korrekt "auseinander ziehen"?
-Zudem: In dem Zielterm stehen die Produkte f'*g und g'*f, wobei im obrigen Term ganz andere Produkte stehen, die ich ja nicht einfach gemäß des Kommutativgesetzes vertauschen kann, weil sie durch ein "-" getrennt sind...=(
Bitte um Hilfe und wäre dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Sa 30.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien f und g zwei differenzierbare Funktionen von [mm]\IC[/mm] nach
> [mm]\IC.[/mm]
> Beweisen Sie:
> a) (f*g)'(z)=f'(z)*g(z)+f(z)*g'(Z), z [mm]\varepsilon \IC[/mm]
>
> Hinweis: Der Beweis funktioniert genauso wie im Reellen
> Hallo zusammen,
> also wenn das ganze wie im Reellen funktioniert, gilt ja
> wie gewohnt:
> (f*g)'=f'*g+f*g'
>
> Wenn ich das jetzt beweisen soll, gehe ich erstmal über
> den Grentwert des Differenzenquotienten:
>
> [mm]\limes_{(x+h)\rightarrow x} \bruch{(f*g)(x+h)-(f*g)(x)}{(x+h)-x}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{(x+h)\rightarrow x} \bruch{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)}{(x+h)-x}[/mm]
>
> (Ist das bis hierhin richtig? Also verwende ich für de
> Funktion f und g jeweils die gleiche Variable "x" oder
> müsste ich hier für die Funktion g eine andere Variable
> wählen)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Falls es bis hierhin richtig ist, habe ich jetzt
> Umformungsschwierigkeiten:
Tipp: addiere im Zähler $0=f(x+h)g(x) - f(x+h)g(x)$.
Viele Grüße
Rainer
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Dann habe ich nun den Term:
[mm] \limes_{(x+h)\rightarrow\ x}\bruch{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)+(f(x+h)*g(x)-f(x+h)*g(x)}{4})
[/mm]
Erstmal die Frage:
Klar ist es mathematisch vollkommen korrekt etwas zu addieren, was man dann wieder subtrahier, da in der Summe= 0 steht, aber mir geht es um den Gedankengang:
Wie kommt man darauf, sich zu denken "ok jetzt addiere und subtrahiere ich hier f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x) ?
Dazu müsste man ja zu diesem Zeitpunkt schon wissen, wie man diese Erweiterung sinnvoll benutzen kann?
Leider sehe ich immer noch nicht, wie ich damit irgendwie weiter rechnen könnte =(- Vielleicht die Summanden via Kommutativgesetz vertauschen und f(x+h) ausklammern?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 30.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
weil du dein Ziel ja schon hingeschrieben hast, wenn man das Ziel ausmult. kriegt man ungefähr das hin, wenn man nocch f(x)das mit dem Differenzenquot von g mult wird durch f(x+h) ersetzt.
also einfach zielgerichtete Phantasie.bzw ein bissel mit dem Ziel rumspielen, wie könnt ich es noch schreiben. (das addieren einer sog."fetten"0 kennst du aus der Schule vpn der quadratischen Ergänzung
und bitte: Zahlen egal ob reell oder komplex werden beim Differenzieren immer 0, also bessere Überschriften
etwa: Produktregel im Komplexen
Gruss leduart
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Nochmals Hallo!
Ok, die Vorgehensweise habe ich soweit verstanden:
Ich formuliere einfach meinen zu beweisenden Zielterm mithilfe des Limes des Differenzenquotienten und schaue, wenn ich diesen ausmultipliziere, was ich erweitern muss, um auf diesen Term zu kommen.(?)
Jetzt hätte ich allerdings noch ein paar mathematische Fragen:
Wenn ich meinen Zielterm mithilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten formuliere: (f'g+g'f)
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] *g(x)+ [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{g(x+h)-g(x)}{h} [/mm] *f(x)
Zunächst: Ist das mathematisch hier korrekt formuliert?
Und: Bezieht sich bei dem ersten Summanden der Limes wirklich nur auf [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}, [/mm] bzw analog im Zweiten Summanden auf [mm] \bruch{g(x+h)-g(x)}{h}??
[/mm]
Weil mi stellt sich die Frage, wie ich denn diesen Zielterm ausmultiplizieren kann, wenn sich der Limes nur auf einen Teil bezieht?
Falls sich der Limes wirklich nur auf den jeweiligen Bruch bezieht:
Mit welchem Rechengesetz darf ich denn g(x) bzw f(x) einfach aus dem Limes "rausziehen"?
Wäre über Antworten dankbar!
Liebe Grüße
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Ok ich versiche meine Frage präziser zu formulieren:
Ich kenne meinen Zielterm:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] * g(x) + [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{g(x+h)-g(x)}{h} [/mm] * f(x)
wenn das das jeweils ausmultipliziere, erhalte ich:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x)}{h} [/mm] + [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{g(x+h)*f(x)-g(x)*f(x)}{h}
[/mm]
Und jetzt vergleiche ich diesen Zielterm (was zu beweisen ist) eben mit meinem Anfangsterm und schaue welche "nahrhafte Null", also welche Terme ich addiern (und gleichzeitig subtrahieren) muss, um auf diesen Term zu kommen.
(Anfangsterm:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)}{h}
[/mm]
und dann sehe ich:
Diejenigen Terme, die beim Zielterm enthalten sind, beim Anfgansterm jedoch fehlen sind:
g(x)*f(x)-g(x)*f(x)
Allerdings ist ja "allgemein bekannt", dass man " f(x+h)*g(x)-f(x+h)*g(x) addieren muss...=(
Was mache ich falsch?
Sehe aus den Bedingungen einfach nicht, dass man eben jenen Term addiern muss, obwohl ich weiß, dass damit am Ende das Richtige rauskommt.
Liebe Grüße, wäre für Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
"sehen" heisst vielleich mehr rumprobieren als du gemacht hast, z. Bsp auch mal den "Zielterm" $ [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{g(x+h)-g(x)}{h} [/mm] $ * f(x+h) ansehen, oder
$ [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] $ * g(x+h)
jeweils nur einen oder den anderen, und schon bist du am Ziel. die "beste" 0 zu addieren erfordert etwa Phantasie. Nicht alle Beweise in mathe haben einen streng logiscen Weg, aber es gibt "Tricks" wie diese addierte 0, die man schon mal gesehen hat und versuchen kann anzuwenden, und dann eben, wenns mit der einen nicht klappt mit der anderen. hier ast du eigentlich nur 3 Mögichkeiten : f(x)*g(x)-f(x)*g(x), f(x+h)*g(x)-f(x+h)*g(x),
g(x+h)*f(x)-g(x+h)*f(x), 2 davon führen zum Ziel, ein nicht.
Mathematik ist kein stures mit formeln rumrechnen, wie es manchmal auf der Schule erscheint, sondern ein kreativer Prozess, man kann nie genau sagen, wie man auf ne Idee gekommen ist, so wenig wie der maler, warum er genau da rechts oben nen roten Punkt gemalt hat.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
g(x) hat doch einfach einen Wert, er ändert sich nicht, wenn sich h ändert, also versteh ich deine Zweifel nicht.
und es ist richtig formuliert. (siehe auch den Beweis von (a*f)'=a*f'
der nur das a aus dem GW ausklammert.)
Gruss leduart
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