Differenzierbarkeit von Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:45 Mi 20.08.2014 | | Autor: | natural |
Hallo,
befinde mich zur Zeit in der Prüfungsvorbereitungen zu gewöhnlichen DGL.
In meinem Skript ist ein Absatz den ich ganz und gar nicht verstehe. Und leider gibt es genau zu diesem Absatz eine Prüfungsfrage die dran kommen könnte.
Wäre sehr nett, wenn ihr mir ein paar Tips dazu geben könntet. Den Absatz habe ich rot umrandet.
http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/unbenannttxp30qv5a8.png
mfg
natural
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:13 Mi 20.08.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
so wie ich das verstehe:
wenn u mindestens (n-1)-mal differenzierbar ist, existieren die Ableitungen [mm] $u^{(n-1)}$, $u^{(m-2)}$, [/mm] ...
Damit existiert auch der komplette rechte Term deine oberen Gleichung. Dieser liefert jedoch gerade eine Komposition für den Term auf der linken Seite (welcher also als Komposition existierenden Ableitungen ebenfalls existiert).
Somit existiert auch [mm] $u^{(n)}$, [/mm] und das lässt sich fortsetzen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mi 20.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich kann mir es nicht verkneifen: wenn der Verfasser des Skripts schreibt
"Lösungenen der homogenen Gleichung sind beliebig oft differenzierbar, wenn sie mindestens (n-1)- mal differenzierbar sind. .....",
so hat er offenbar den Begriff "Lösung" einer DGL nicht verstanden !
Ist I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall und ist $u: I [mm] \to \IR \quad (\IC)$ [/mm] eine Lösung einer DGL n-ter Ordnung, so ist definitionsgemäß(!) die Funktion u mindestens n-mal differenzierbar auf I !
Ist die DGL linear und homogen und hat sie konstante Koeffizienten, so sieht man induktiv aus der expliziten Darstellung
[mm] u^{(n)}= [/mm] ....
der DGL, dass u beliebig oft differenzierbar ist.
Ist die DGL inhomogen, so muß das i.a. nicht der Fall sein.
Beispiel:
(*) [mm] u^{(3)}(x)=|x|.
[/mm]
Jede Lösung von (*) ist genau 3-mal (und nicht öfter) differenzierbar (auf [mm] \IR). [/mm]
FRED
|
|
|
|
