Differenzierbarkeit im Punkt < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Paul231 |
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Hallo,
ich hab eine Verständnisfrage zu folgender Definition aus meinem Skript:
Sei f eine reelle Funktion und x ein innerer Punkt von D(f).
f heißt differenzierbar in x mit Ableitung [mm] \alpha \in \IR [/mm] in x, wenn es eine in 0 stetige Funktion [mm] R_{x} [/mm] mit [mm] R_{x}(0) [/mm] = 0 gibt, so dass für alle h [mm] \in \IR [/mm] mit x+h [mm] \in [/mm] D(f) gilt
f(x+h) = f(x) + [mm] \alpha [/mm] h + [mm] R_{x}(h) [/mm] h .
Wieso benötige ich eine in 0 stetige Funktion bzw. warum muss diese Funktion nur in 0 stetig sein?
Gruß Paul
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Das ist die nennerfreie Variante der Definition der Differenzierbarkeit. Forme die Gleichung um, indem du [mm]f(x)[/mm] subtrahierst und durch [mm]h[/mm] dividierst, dann erhältst du
[mm]\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \alpha + R_x(h)[/mm]
Diese Umformung ist für alle dem Betrage nach genügend kleinen [mm]h \neq 0[/mm] zulässig. Stetigkeit der Funktion [mm]R_x[/mm] im Nullpunkt mit [mm]R_x(0)= 0[/mm] heißt aber doch gerade, daß der Grenzwert der linken Seite für [mm]h \to 0[/mm] existiert und den Wert [mm]\alpha[/mm] besitzt. [mm]\alpha[/mm] ist also gerade das, was man üblicherweise [mm]f'(x)[/mm] nennt.
Du kannst es auch umgekehrt sagen: Die für dem Betrage nach genügend kleine [mm]h[/mm] definierte Funktion
[mm]R_x(h) = \begin{cases} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \alpha & \mbox{für} \ h \neq 0 \\ 0 & \mbox{für} \ h = 0 \end{cases}[/mm]
ist im Nullpunkt stetig.
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