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Differenzierbarkeit im NP: Hallo
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Do 20.12.2012
Autor: looney_tune

"Die Funktion f ist auf IR^ n \ {0} sicherlich di fferenzierbar, ich kann dort also die Ableitungsfunktion f´ bilden. Wenn ich nun zeigen kann, dass f im Nullpunkt stetig ist und der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x)  für x [mm] \not= [/mm] 0
existiert, dann ist f auch im Nullpunkt differenzierbar und f´(0) stimmt mit dem gefundenen Grenzwert überein".



Ich soll jetzt zu dieser erläuterte Strategie einen Satz formulieren, der die Differenzierbarkeit von f im Nullpunkt sichert und ihn beweisen.
Ich habe nur nicht so eine richtige Idee, wie dieser Satz aussehen könnte.

        
Bezug
Differenzierbarkeit im NP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 20.12.2012
Autor: reverend

Hallo looney_tune,

es steht doch schon fast alles da.

> "Die Funktion f ist auf IR^ n \ {0} sicherlich
> di fferenzierbar, ich kann dort also die Ableitungsfunktion
> f´ bilden. Wenn ich nun zeigen kann, dass f im Nullpunkt
> stetig ist und der Grenzwert
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x)  für x [mm]\not=[/mm] 0

Da fehlt ein wesentlicher Strich. Hier geht es um den Grenzwert der Ableitungsfunktion!

>  existiert, dann ist f auch im Nullpunkt differenzierbar
> und f´(0) stimmt mit dem gefundenen Grenzwert überein".

>

>
> Ich soll jetzt zu dieser erläuterte Strategie einen Satz
> formulieren, der die Differenzierbarkeit von f im Nullpunkt
> sichert und ihn beweisen.
>  Ich habe nur nicht so eine richtige Idee, wie dieser Satz
> aussehen könnte.

Na, im Prinzip so wie es da steht. Wenn f(x) in [mm] x_0=0 [/mm] stetig ist, und in [mm] D\setminus\{x_0\} [/mm] differenzierbar, so ist die Stetigkeitslücke der Ableitungsfunktion f'(x) genau dann hebbar, wenn der Grenzwert...

Oder so ähnlich.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit im NP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Do 20.12.2012
Autor: looney_tune

danke, für die schnelle Antwort.
Nun gut, ich würde den Satz mit den gegebenen Sachen formulieren.
Aber wie kann ich ihn Beweisen? und dann soll die Stetigkeit von f für die Strategie wichtig sein, weil ohne die Stetigkeit die Aussage falsch sei. Aber warum spielt denn die Stetigkeit von f so eine wichtige Rolle?
Was wäre denn ein Beispiel dafür?

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit im NP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Fr 21.12.2012
Autor: fred97


> danke, für die schnelle Antwort.
>  Nun gut, ich würde den Satz mit den gegebenen Sachen
> formulieren.
>  Aber wie kann ich ihn Beweisen?


Ich zeid Dir mal, wie man das im Falle n=1 zeigen kann. Du verallgemeinerst dann:

Sei [mm] L:=\limes_{x \to 0}f'(x) [/mm]

Sei x [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist f auf [0,x]  (bzw  [x,0]) stetig und auf (0,x)  (bzw (x,0) ) differentierbar.


Nach dem Mittelwertsatz ex. ein [mm] a_x [/mm] zwischen 0 und x mit:

    [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(a_x). [/mm]

Obiger Quotient strebt also gegen L, wenn x [mm] \to [/mm] 0.






> und dann soll die
> Stetigkeit von f für die Strategie wichtig sein, weil ohne
> die Stetigkeit die Aussage falsch sei. Aber warum spielt
> denn die Stetigkeit von f so eine wichtige Rolle?
>  Was wäre denn ein Beispiel dafür?


Betrachte f : [mm] \IR \to \IR [/mm] def. durch

   f(x)=1, falls x [mm] \ne [/mm] 0  und f(0)=0

FRED


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