Differenzierbarkeit im \IR^{n} < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf [mm] \IR^2 [/mm] definiere die Funktion f durch
f(x, y) = [mm] x^{2}*y^{2}/(x^{2}+y^{2}) [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
0 für(x,y)=(0,0)
Prüfen Sie anhand der Definition, ob f bei (0,0) differenzierbar sind |
Hey,
Die Aufgabenstellung ist mir ein wenig unklar. Ist hiermit die partielle Differenzierbarkeit oder die totale Differenzierbarkeit gemeint ?
Die partiellen Ableitungen habe ich berechnet. Was genau muss ich mit den partiellen Ableitungen machen ?
Gruß zahlenfreund
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Hallo,
Vorerst genügt es aus Symmetriegründen nur [mm] $f_{x}$ [/mm] zu betrachten. Überall außer (0,0) gilt offensichtlich die Differenzierbarkeit (beliebig oft).
Nun in (0,0)
[mm] $f_{x} [/mm] = [mm] \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}$
[/mm]
Es ist doch f auf der x-Achse die Nullfunktion, da für $(x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0)$ ja f(x,0) = 0. Und für x=y= 0 ist der Funktionswert 0.
Also muss auch [mm] $f_{x}(0,0) [/mm] = 0$ gelten.
Untersuche nun
[mm] $f_{x}(x,y)=\begin{cases} \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}, & \mbox{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}$
[/mm]
auf Stetigkeit in (0,0).
Lg
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[mm] f_{x} [/mm] ist stetig im Punkt (0,0)
(Es ist doch f auf der x-Achse die Nullfunktion, da für (x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0) ja f(x,0)= 0. Und für x=y= 0 ist der Funktionswert 0. Also muss auch [mm] f_{x}(0,0) [/mm] = 0 gelten.) Hier verstehe ich nicht ganz was du mir damit sagen willst.
Lg zahlenfreund
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:01 Do 18.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f_{x}[/mm] ist stetig im Punkt (0,0)
>
> (Es ist doch f auf der x-Achse die Nullfunktion, da für
> (x,y) [mm]\neq[/mm] (0,0) ja f(x,0)= 0. Und für x=y= 0 ist der
> Funktionswert 0. Also muss auch [mm]f_{x}(0,0)[/mm] = 0 gelten.)
> Hier verstehe ich nicht ganz was du mir damit sagen
> willst.
Wir haben:
$ [mm] f_{x}(x,y)=\begin{cases} \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}, & \mbox{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] $
Damit ist [mm] f_x [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] stetig.
Ebenso ist [mm] f_y [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] stetig.
Nun gibt es einen Satz, der besagt:
f ist auf [mm] \IR^2 [/mm] differenzierbar, also auch in (0,0)
FRED
>
> Lg zahlenfreund
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:29 Do 18.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Auf [mm]\IR^2[/mm] definiere die Funktion f durch
> f(x, y) = [mm]x^{2}*y^{2}/(x^{2}+y^{2})[/mm] für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm]
> 0 für(x,y)=(0,0)
> Prüfen Sie anhand der Definition, ob f bei (0,0)
> differenzierbar sind
> Hey,
>
> Die Aufgabenstellung ist mir ein wenig unklar. Ist hiermit
> die partielle Differenzierbarkeit oder die totale
> Differenzierbarkeit gemeint ?
die totale
> Die partiellen Ableitungen habe ich berechnet. Was genau
> muss ich mit den partiellen Ableitungen machen ?
Wir betrachten den Quotienten
[mm] Q(x,y):=\bruch{f(x,y)-f(0,0)-x*f_x(0,0)-y*f_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y2}}
[/mm]
f ist in (0,0) differenzierbar [mm] \gdw \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0.
[/mm]
Edit: habe mich verschrieben. Richtig ist:
f ist in (0,0) differenzierbar [mm] \gdw \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}Q(x,y)=0.
[/mm]
FRED
>
> Gruß zahlenfreund
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