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| Aufgabe | | Man differenziere : [mm] f(x)=\wurzel{x(2-x)^{3}} [/mm] in [mm] x_{0}=0 [/mm] und [mm] x_{1}=2 [/mm] |
Guten Abend euch !
Es geht mir darum, diffbarkeit auf einem geschlossenen Intervall zu verstehen..
Es ist [mm] x(2-x)^{3}\ge0 \gdw 0\le x\le2.
[/mm]
Also ist f nur für [mm] 0\le x\le2 [/mm] definiert, 0 und 2 sind folglich Randpunkte.
zu meiner Frage : "Woher weiß ich ob ich bei dem Kriterium für Diff-barkeit,
den limes von rechts oder links gehen lassen soll ?"
Hier in dem Bsp, sagt die Lösung x=>0+ [mm] =\infty [/mm] (editiert) und x=>2- =0 => f ist nicht in 2 diffbar (warum? Muss [mm] f'(x_{0} [/mm] ungleich 0 sein ?).
schönen Gruß..auch an's Sandmännchen :)
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Hallo Mac,
> Man differenziere : [mm]f(x)=\wurzel{x(2-x)^{3}}[/mm] in [mm]x_{0}=0[/mm] und
> [mm]x_{1}=2[/mm]
> Guten Abend euch !
>
> Es geht mir darum, diffbarkeit auf einem geschlossenen
> Intervall zu verstehen..
>
> Es ist [mm]x(2-x)^{3}\ge0 \gdw 0\le x\le2.[/mm]
> Also ist f nur für
> [mm]0\le x\le2[/mm] definiert, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 0 und 2 sind folglich Randpunkte.
>
> zu meiner Frage : "Woher weiß ich ob ich bei dem Kriterium
> für Diff-barkeit,
> den limes von rechts oder links gehen lassen soll ?"
Naja, links von 0 und rechts von 2 ist die Funktion nicht definiert, wie du richtig erkannt hast.
Wie willst du dich also von links an 0 bzw von rechts an 2 heranpirschen?
> Hier in dem Bsp, sagt die Lösung x=>0+ und x=>2- =0 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
ist das so? In [mm] x_1=2 [/mm] ist 0 richtig aber in [mm] x_0=0 [/mm] kommt doch was anderes raus...
Richtig ist, dass du in [mm] x_0=0 [/mm] nur auf rechtsseitige Differenzierbarkeit und in [mm] x_1=2 [/mm] nur auf linksseitige Diffbarkeit prüfen kannst
Das Ergebnis für [mm] x_1=2 [/mm] stimmt, der linksseitige GW des Differenzenquotienten ist 0
Das kannst du berechnen, indem du dies ausrechnest:
[mm] $\lim\limits_{x\uparrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ [/mm] oder in der anderen Schreibweise [mm] $\lim\limits_{x\to 2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
[/mm]
Da musste einsetzen und bissl rumrechnen, dann kommst du auf 0 als linksseitiger GW des DQ
Also würde ich sagen, dass die Funktion f in [mm] x_1=2 [/mm] linksseitig differenzierbar ist !! (denn der GW existiert ja (ist =0))
Dann untersuche mal, ob f denn auch in 0 rechtsseitig diffbar ist
Berechne also [mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] bzw. [mm] $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
[/mm]
Rechne das mal aus, da kommt [mm] \infty [/mm] raus, also ex. dieser GW nicht, also ist f in 0 nicht rechtsseitig diffbar
> => f
> ist nicht in 2 diffbar (warum? Muss [mm]f'(x_{0}[/mm] ungleich 0
> sein ?).
Das ist m.E Unsinn - s.o.
>
> schönen Gruß..auch an's Sandmännchen :)
Werde ich sofort höchstpersönlich ausrichten 
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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