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Differenzierbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 So 06.01.2013
Autor: Dome1994

Aufgabe
Ist die Funktion [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] gegeben durch

[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{e^{x}-1}{sin(x)} & \mbox{für} x\not=0 \\ 1 & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]

in 0 differenzierbar? Falls ja, bestimmen Sie f´(0).

Hallo zusammmen,
Also ich wollte eigentlich nur fragen ob mein Gedankengang zu obenstehender Aufgabe richtig war.
Und zwar habe ich zuerst die Ableitung gebildet:

[mm] f´(x)=\bruch{e^{x}*sin(x)-e^{x}*cos(x)-cos(x)}{sin^{2}(x)} [/mm]

Damit folgt dann: f´(0)=0

Stimmt meine Rechnung soweit?

1000 Dank für jede Antwort

LG Dome

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 So 06.01.2013
Autor: notinX

Hallo,

> Ist die Funktion [mm]f:\IR\to\IR,[/mm] gegeben durch
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{e^{x}-1}{sin(x)} & \mbox{für} x\not=0 \\ 1 & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>  
> in 0 differenzierbar? Falls ja, bestimmen Sie f´(0).
>  Hallo zusammmen,
>  Also ich wollte eigentlich nur fragen ob mein Gedankengang
> zu obenstehender Aufgabe richtig war.
>  Und zwar habe ich zuerst die Ableitung gebildet:
>  
> [mm]f´(x)=\bruch{e^{x}*sin(x)-e^{x}*cos(x)-cos(x)}{sin^{2}(x)}[/mm]

das wäre die Ableitung für [mm] $x\neq [/mm] 0$, ist aber ein kleiner Vorzeichenfehler drin. Im Zähler muss das zweite minus ein plus sein.

>  
> Damit folgt dann: f´(0)=0
>  
> Stimmt meine Rechnung soweit?

Nein, die Ableitung im Nullpunkt ist zu berechnen. Dazu muss der Differentialquotient für [mm] $x\to x_0$ [/mm] gegen 0 streben - dann ist die Funktion in x=0 diffbar.

>  
> 1000 Dank für jede Antwort
>  
> LG Dome

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 So 06.01.2013
Autor: Dome1994

Danke für deine Antwort :)
>  
> Nein, die Ableitung im Nullpunkt ist zu berechnen. Dazu
> muss der Differentialquotient für [mm]x\to x_0[/mm] gegen 0 streben
> - dann ist die Funktion in x=0 diffbar.

Und wie genau mach ich das?


Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 So 06.01.2013
Autor: Helbig


> Danke für deine Antwort :)
>  >  
> > Nein, die Ableitung im Nullpunkt ist zu berechnen. Dazu
> > muss der Differentialquotient für [mm]x\to x_0[/mm] gegen 0 streben
> > - dann ist die Funktion in x=0 diffbar.
>
> Und wie genau mach ich das?

Konvergiert

    ${f(x) - f(0) [mm] \over [/mm] x-0} = {f(x) - 1 [mm] \over [/mm] x}$ für [mm] $x\to 0\,?$ [/mm]

Und wenn ja, gegen welchen Wert?

Gruß,
Wolfgang


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