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| Aufgabe | Gegeben Sei die Funktion f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{(x-3)(x-1)}, & \mbox{für }|x-2| \le \mbox{ 1} \\ -\bruch{1}{3} (x-3)^3+a(x-3)+b, & \mbox{für }|x-2| > \mbox{ 1} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie die Parameter a und b, so dass f in x=3 differenzierbar ist. (Rechnung!) Ist f für diese Parameter auch in x=1 differenzierbar? |
Hallo :)
Ich weiß nicht so recht weiter bei dieser Aufgabe.
Eigentlich benötigt man für x=3 doch nur den Teil der Funktion mit der e-Funktion da |3-2| [mm] \le [/mm] 1 ist oder? Dieser Teil enthält doch aber gar keine Parameter?
Selbst wenn ich den unteren Teil der Funktion nehme und x=3 einsetze wäre der Parameter für a egal, da (x-3) null ergeben würde.
Oder müsste ich die Funktion vorher ableiten, bevor ich die 3 einsetze?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Di 20.03.2012 | | Autor: | Stoecki |
könntest du bitte die funktion noch einmal eingeben. die ist falsch gerendert, wegen nem code-fehler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Di 20.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
da ist dir irgendein Syntaxfehler beim Eingeben des LaTeX-Codes unterlaufen. Du könntest mit Hilfe der Vorschau ja mal versuchen, das noch zu reparieren, sonst ist es etwas mühsam, diese Frage zu klären.
Gruß, Diophant
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Hallo,
damit die Funktion differenzierbar ist, muss sie erst einmal stetig sein. Darüber bekommst du b.
Jetzt musst du für beide Funktionsgleichungen die erste Ableitung bilden und durch passende Wahl von a dafür sorgen, dass die gesamte Ableitung in x=3 stetig ist.
Das ist so für sich alles eindeutig lösbar. Erst wenn du die Lösung für x=3 hast, kannst du leicht durch Rechnung nachprüfen, dass f an der Stelle x=3 nicht differenzierbar ist.
Gruß, Diophant
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Okay, das habe ich gemacht:
Also das b ist bei mir:
[mm] \limes_{x\rightarrow 3} e^{(x-3)(x-1)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 3} -\bruch{1}{3} (x-3)^3 [/mm] + a(x-3) + b
=> 1= b
Für a:
[mm] \limes_{x\rightarrow 3}e^{(x-3)(x-1)} [/mm] * (2x-4) = 2
[mm] \limes_{x \rightarrow 3} -(x-3)^2 [/mm] + a = a
=> a = 2
Kann ich das so berechnen? Oder muss ich die Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta-Kriterium auch zeigen?
Wie zeige ich jetzt, dass die Funktion für diese Parameter differenzierbar, bzw. nicht differenzierbar ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, das habe ich gemacht:
>
> Also das b ist bei mir:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3} e^{(x-3)(x-1)}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3} -\bruch{1}{3} (x-3)^3[/mm] + a(x-3) + b
>
> => 1= b
>
> Für a:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 3}e^{(x-3)(x-1)}[/mm] * (2x-4) = 2
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 3} -(x-3)^2[/mm] + a = a
>
> => a = 2
>
> Kann ich das so berechnen?
Ja
> Oder muss ich die Stetigkeit mit
> dem Epsilon-Delta-Kriterium auch zeigen?
nein.
>
> Wie zeige ich jetzt, dass die Funktion für diese Parameter
> differenzierbar, bzw. nicht differenzierbar ist?
Du hast doch gezeigt: f ist in x=3 differenzierbar [mm] \gdw [/mm] a=2 und b=1.
FRED
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> > Okay, das habe ich gemacht:
> >
> > Also das b ist bei mir:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 3} e^{(x-3)(x-1)}[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 3} -\bruch{1}{3} (x-3)^3[/mm] + a(x-3) + b
> >
> > => 1= b
> >
> > Für a:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 3}e^{(x-3)(x-1)}[/mm] * (2x-4) = 2
> >
> > [mm]\limes_{x \rightarrow 3} -(x-3)^2[/mm] + a = a
> >
> > => a = 2
> >
> > Kann ich das so berechnen?
>
> Ja
>
> > Oder muss ich die Stetigkeit mit
> > dem Epsilon-Delta-Kriterium auch zeigen?
>
> nein.
>
>
> >
> > Wie zeige ich jetzt, dass die Funktion für diese Parameter
> > differenzierbar, bzw. nicht differenzierbar ist?
>
> Du hast doch gezeigt: f ist in x=3 differenzierbar [mm]\gdw[/mm]
> a=2 und b=1.
>
Achso, dann bin ich für den Fall x=3 fertig?!
> FRED
>
Bei x=1 bilde ich dann wieder die Ableitung, bilde den Grenzwert a,b habe ich nun ja schon und schaue ob die grenzwerte für x -> 1 die selben sind oder?
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Hallo,
> Bei x=1 bilde ich dann wieder die Ableitung, bilde den
> Grenzwert a,b habe ich nun ja schon und schaue ob die
> grenzwerte für x -> 1 die selben sind oder?
ich würde mir erstmal die Funktion selbst ansehen. Was muss gleich nochmal für eine Eigenschaft vorausgesetzt werden, damit ein Funktion f an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] differenzierbar sein kann?
Prinzipiell muss man aber bei solchen Aufgaben dann auch die Ableitung an den betreffenden Stellen prüfen.
Gruß, Diophant
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Stimmt sie muss erstmal stetig sein in x=1.
Das ist sie aber nicht -> daher ist sie dann auch nicht differenzierbar in x=1.
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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