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Hallo, nach der Stetigkeit habe ich mal noch eine Frage zur Differenzierbarkeit. Ich möchte zeigen, dass die Funktion
[mm] f(x,y)=\bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y{2}}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] und
f(0,0)=0 differenzierbar ist.
Sicherlich ist hier als einzige die Stelle (0,0) interessant, da f sonst bloß eine Ansammlung von Polynomen ist.
Ich würde es mit dieser Approximation machen:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)-f(a)-L(h)}{||h||}.
[/mm]
L(h) ist sicherlich 0, da die partiellen Ableitungen [mm] \partial_{x}(0,0)=\partial_{y}(0,0)=0.
[/mm]
Also folgt:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)}{||h||}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(h_{1},h_{1})}{||h_{1},h_{1}||}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\pm\bruch{h_{1}^{2}}{2h_{1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\pm\bruch{h_{1}}{2}\to0
[/mm]
Folglich ist f differenzierbar. Das einzige, was mich an dieser Rechnung stört, ist dieses [mm] h_{1}. [/mm] Kann man das so machen?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 So 17.07.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
ich vermute, da ist ein Druckfehler drin:
Du untersuchst wahrscheinlich eine beliebige Richtung h = [mm] (h_{1}, h_{2}) [/mm] und nicht nur eine Annäherung in der Diagonalen [mm] (h_{1}, h_{1}), [/mm] sodass Du auch zwei verschiedene h's berücksichtigen musst.
Ich nehme außerdem an ||h|| = [mm] \wurzel{h_{1}²+h_{2}²} [/mm] und dann würde ich Deinen Limes nach oben abschätzen durch
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} h_{1}³/ (\wurzel{h_{1}²+h_{2}²}||h||) \le \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] ||h||³/||h||² = 0 ,
da ja [mm] h_{1} \le [/mm] ||h|| ist.
Andernfalls müsstest Du nähere Angaben über ||h|| machen.
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Vielen Dank. Genau das wollte ich wissen. Ich hab das mit dem h1 nämlich in einem Buch gesehen, aber da wurde so eine Aussage ´über Differenzierbarkeit wiederlegt. Dafür scheint das dann also zu funktionieren.
Grüße
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