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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Do 05.05.2011
Autor: Theoretix

Aufgabe
Sei [mm] g:[0,\infty]\to\IR. [/mm] Die Funktion [mm] f:\IR^m\to\IR [/mm] sei definiert durch

[mm] f(x)=g(\vert x\vert) [/mm] für [mm] x\in\IR^m [/mm]

a) Zeigen Sie, dass f genau dann im [mm] \IR^m [/mm] differenzierbar ist, wenn g in [mm] (0,\infty) [/mm] differenzierbar ist und in 0 die rechtsseitige Ableitung g’(0+)=0 hat.

Hallo,

hier liegt ja eine zu zeigende Äquivalenz vor, also gibt es zwei Richtungen zu zeigen.
Ich versuche mal mit der [mm] „\Rightarrow“ [/mm] anzufangen:

Die Voraussetzung ist also, dass [mm] f(x)=g(\vert x\vert) [/mm] differenzierbar ist und es ist daraus zu folgern, dass dann g in [mm] (0,\infty) [/mm] differenzierbar ist und in 0 die rechtsseitige Ableitung g’(0+)=0 besitzt.

Ansetzen würde ich zunächst mit der Definition der Differenzierbarkeit: f ist differenzierbar, wenn es eine Matrix A [mm] \in\IR{m \times n}gibt, [/mm] sodass man für x nahe [mm] x_0 [/mm] die Funktion f approximieren kann durch:

[mm] f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+R(x,x_0) [/mm]

jetzt kann ich doch die Funktion explizit einsetzen:

[mm] \Rightarrow g(\vert x\vert)=g(\vert x_0\vert)+A(x-x_0)+R(x,x_0) [/mm]

Aber die Jacobi Matrix ist ja noch diejenige, welche die Ableitung von f beschreibt, oder? D.h. eig. bin ich damit noch nicht so richtig weiter gekommen.

Ist das überhaupt ein brauchbarer Ansatz so und wenn ja, wie muss ich weiter machen?

Wäre dankbar für Hilfe!

Gruß

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Fr 06.05.2011
Autor: leduart

Hallo
was ist denn etwa die ableitung [mm] f_{x_i}((x) [/mm]
die kannst du doch nach kettenregel berechnen?
wenn dus nicht kannst nimm etwa als Beispiel [mm] g(x)=x^4 [/mm] oder [mm] x^3 [/mm]
das erfüllt die Bedingungen, dann verallgemeinern.
gruss leduart


Bezug
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