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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Die Fuhnktion [mm] g:\IR \to \IR [/mm] sei definiert durch
[mm] g(x)=\begin{cases} x^{2}cos(\bruch{1}{x}, & \mbox{falls } x\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie,dass g in jedem Punkt [mm] x\in\IR [/mm] differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung. |
Um zu schauen, ob die Funktion überall differnzierbar ist, habe ich erstmal in die Formel [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-0} [/mm] eingesetzt.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^{2}cos(\bruch{1}{x}-0^{2}cos(\bruch{1}{0})}{x-0}
[/mm]
Die Terme hinter dem Minus im Bruch fallen natürlich weg. Dann hab ich den Bruch [mm] \bruch{x^{2}cos(\bruch{1}{x})}{x} [/mm] gekürzt und erhalte:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}xcos(\bruch{1}{x})
[/mm]
Aber eigentlich kann ich doch jetzt immernoch nicht sagen, dass die Funktion an allen Stellen differenzierbar ist, denn ich habe ja immer noch bei [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] den Nenner 0, wenn ich jetzt 0 einsetzen würde.
Kann mir jemand erklären, wie ich da vorgehen muss, oder kann ich einfach jetzt schon sagen, dass es differenzierbar ist und dass 0 herauskommt? Weil egal, wie man jetzt noch umformen kann, so bleibt ja das x vor dem Ausdruck.
Wenn ich die Ableitung nun bestimme, komme ich mit Hilfe der Produkt und Kettenregel auf das Ergebnis:
f'(x)= 2x [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] * [mm] (-\bruch{1}{x^{2}}) [/mm] * [mm] x^{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Klempner,
> Die Fuhnktion [mm]g:\IR \to \IR[/mm] sei definiert durch
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} x^{2}cos(\bruch{1}{x}, & \mbox{falls } x\not=0 \mbox{ } \\
0, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie,dass g in jedem Punkt [mm]x\in\IR[/mm] differenzierbar
> ist und bestimmen Sie die Ableitung.
> Um zu schauen, ob die Funktion überall differnzierbar
> ist, habe ich erstmal in die Formel [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x)-f(\red{x_{0}})}{x-0}[/mm]
> eingesetzt.
Da muss doch im Zähler [mm]f(x)-f(\red{0})[/mm] stehen!
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^{2}cos(\bruch{1}{x}-0^{2}cos(\bruch{1}{0})}{x-0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie ist [mm]f(0)[/mm] definiert?
Was soll denn da [mm]\cos(1/0)[/mm] bedeuten??
Du musst dich an die gegebene Funktionsdefinition halten.
>
> Die Terme hinter dem Minus im Bruch fallen natürlich weg.
Naja, natürlich wegen [mm]f(0)=0[/mm] (siehe Def. "f")
> Dann hab ich den Bruch [mm]\bruch{x^{2}cos(\bruch{1}{x})}{x}[/mm]
> gekürzt und erhalte:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}xcos(\bruch{1}{x})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
>
> Aber eigentlich kann ich doch jetzt immernoch nicht sagen,
> dass die Funktion an allen Stellen differenzierbar ist,
> denn ich habe ja immer noch bei [mm]cos(\bruch{1}{x})[/mm] den
> Nenner 0, wenn ich jetzt 0 einsetzen würde.
> Kann mir jemand erklären, wie ich da vorgehen muss, oder
> kann ich einfach jetzt schon sagen, dass es differenzierbar
> ist und dass 0 herauskommt? Weil egal, wie man jetzt noch
> umformen kann, so bleibt ja das x vor dem Ausdruck.
Du musst linksseitigen und rechtsseitigen Limes des Differenzenqoutienten für [mm]x\to 0[/mm] betrachten.
Oder schneller mit der Umformung oben, den [mm]\lim\limits_{x\to 0}\left|x\cdot{}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right|[/mm]
Beachte [mm]0\le \left|x\cdot{}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le \ldots[/mm]
Finde eine einfache obere Schranke, die ebenfalls gegen 0 konvergiert.
Tipp: Der Kosinus ist beschränkt ...
>
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> Wenn ich die Ableitung nun bestimme, komme ich mit Hilfe
> der Produkt und Kettenregel auf das Ergebnis:
>
> f'(x)= 2x [mm]cos(\bruch{1}{x})[/mm] + [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] * [mm](-\bruch{1}{x^{2}})[/mm] * [mm]x^{2}[/mm]
Fast, die Ableitung von [mm]\cos[/mm] ist [mm]\red{-}\sin[/mm]
>
>
>
> Stimmt das so?
Für [mm]x\neq 0[/mm] ist das (fast) richtig.
Wie lautet aber [mm]f'(0)[/mm] ?
Darauf kommt es ja an in der Aufgabe.
Außerhalb von [mm]x=0[/mm] ist die Funktion als Verkettung diffbarer Funktionen wieder diffbar mit obiger Ableitung (modulo Vorzeichenfehler)
Allein in [mm]x=0[/mm] ist es "spannend"
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Klempner |
Danke schachuzipus
Der erste Teil ist klar. Das war ein Schreibfehler. Genauso hab ich das auch gemeint, mir schien nur, dass das zu einfach ist, wenn ich das einfach einsetzte. Aber kann es ja auch mal sein :)
Die Ableitung verstehe ich auch. Werde den Vorzeichenfehler beseitigen.
Das Einzige, was ich nicht wirklich hinkriege, bzw verstehe ist der Grenzwert von links und rechts.
Die GRenzwertberechnung gehört auch nicht gerade zu meinen Lieblingsthemen...
Wenn ich das so mache, wie ich das immer getan habe, dann kommt bei dem Grenzwert von links und rechts 0 heraus. Allerdings rechne ich da nicht viel. Lediglich die Schreibweise ändert sich...
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^{+}}xcos(\bruch{1}{x}) [/mm] =0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^{-}}xcos(\bruch{1}{x}) [/mm] =0
Dann wäre die Ableitung auch 0.Aber so einfach wird das wohl nicht sein, oder?
Die Vorgehensweise, die du benutzt, kenne ich so nicht. Vielleicht kannst du mir die näher erklären.
Der Kosinus ist auf 1 und -1 beschränkt. Ich weiß aber nicht, wie mich das weiter bringt....Oder meintest du das so in der Art? Wenn ja, wüsste ich nicht, wie mir das hilft...
[mm] 0\le \left|x\cdot{}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le [/mm] x
Viele Grüße Klempner
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Hallo nochmal,
> Danke schachuzipus
>
> Der erste Teil ist klar. Das war ein Schreibfehler. Genauso
> hab ich das auch gemeint, mir schien nur, dass das zu
> einfach ist, wenn ich das einfach einsetzte. Aber kann es
> ja auch mal sein :)
>
> Die Ableitung verstehe ich auch. Werde den Vorzeichenfehler
> beseitigen.
>
>
> Das Einzige, was ich nicht wirklich hinkriege, bzw verstehe
> ist der Grenzwert von links und rechts.
> Die GRenzwertberechnung gehört auch nicht gerade zu
> meinen Lieblingsthemen...
>
> Wenn ich das so mache, wie ich das immer getan habe, dann
> kommt bei dem Grenzwert von links und rechts 0 heraus.
> Allerdings rechne ich da nicht viel. Lediglich die
> Schreibweise ändert sich...
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0^{+}}xcos(\bruch{1}{x})[/mm] =0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0^{-}}xcos(\bruch{1}{x})[/mm] =0
>
> Dann wäre die Ableitung auch 0.
> Aber so einfach wird das
> wohl nicht sein, oder?
Ja, das musst du schon zeigen!
> Die Vorgehensweise, die du benutzt, kenne ich so nicht.
> Vielleicht kannst du mir die näher erklären.
> Der Kosinus ist auf 1 und -1 beschränkt. Ich weiß aber
> nicht, wie mich das weiter bringt....Oder meintest du das
> so in der Art? Wenn ja, wüsste ich nicht, wie mir das
> hilft...
> [mm]0\le \left|x\cdot{}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le[/mm] x
Ja, [mm] $\le [/mm] |x|$ und das strebt für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen 0
Damit sparst du dir die links- und rechtsseitige Untersuchung ...
>
>
> Viele Grüße Klempner
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Klempner |
Vielen lieben Dank, wusste nicht, dass das auch so funktioniert.
Danke!
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