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| Aufgabe | 1) ges. Stammfunktion von der Funktion f(x)=3/x, x>0
2) Das uneigentliche Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}}dx} [/mm] konvergiert für
a) [mm] \alpha<0
[/mm]
b) [mm] \alpha\le0
[/mm]
c) [mm] \alpha>0
[/mm]
d) [mm] \alpha\ge0
[/mm]
3) Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Eine Funktion [mm] F:\IR\to\IR^{n} [/mm] ist differenzierbar im Punkt [mm] t_{0}=0, [/mm] wenn
a) alle Koordinatenfunktionen differenzierbar sind.
b) der Grenzwert [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}h^{-1}(F(h)-F(0)) [/mm] existiert.
c) es einen Vektor [mm] G\in\IR^{n} [/mm] gibt mit [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}h^{-1}(F(h)-F(0)-hG)=0
[/mm]
d) es einen Vektor [mm] G\in\IR^{n} [/mm] gibt mit [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}(F(h)-F(0)-hG)=0 [/mm] |
Hallo,
also meine Lösungen sind folgende:
1) [mm] f(x)=\bruch{3}{x}=3*\bruch{1}{x} [/mm] --> F(x)=3*lnx=ln(3*x)
2) würde ich sagen a), weil [mm] \limes_{\alpha\rightarrow-\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}} [/mm] )= 0 , da der Zähler Null wird durch [mm] e^{-\infty}=0
[/mm]
3) Was ist eine Koordinatenfunktion? Meinen die eine ganz normale Funktion?
und was ist mit dem vektor gemeint bei c,d?
Danke vorab^^
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Hallo monstre123,
eine Teilantwort:
> 1) ges. Stammfunktion von der Funktion f(x)=3/x, x>0
>
> 2) Das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}}dx}[/mm]
> konvergiert für
> a) [mm]\alpha<0[/mm]
> b) [mm]\alpha\le0[/mm]
> c) [mm]\alpha>0[/mm]
> d) [mm]\alpha\ge0[/mm]
>
> 3) Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Eine Funktion
> [mm]F:\IR\to\IR^{n}[/mm] ist differenzierbar im Punkt [mm]t_{0}=0,[/mm] wenn
>
> a) alle Koordinatenfunktionen differenzierbar sind.
> b) der Grenzwert
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}h^{-1}(F(h)-F(0))[/mm] existiert.
> c) es einen Vektor [mm]G\in\IR^{n}[/mm] gibt mit
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}h^{-1}(F(h)-F(0)-hG)=0[/mm]
> d) es einen Vektor [mm]G\in\IR^{n}[/mm] gibt mit
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}(F(h)-F(0)-hG)=0[/mm]
> Hallo,
>
> also meine Lösungen sind folgende:
>
> 1) [mm]f(x)=\bruch{3}{x}=3*\bruch{1}{x}[/mm] -->
> F(x)=3*lnx [mm] \red{+C} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") =ln(3*x) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt doch die Regel: [mm] $\log_b\left(a^m\right)=m\cdot{}\log_b(a)$
[/mm]
Also [mm] $F(x)=\ln\left(x^3\right) [/mm] \ + \ C$ (Integrationskonstante nicht vergessen!)
>
> 2) würde ich sagen a), weil
> [mm]\limes_{\alpha\rightarrow-\infty}[/mm] (
> [mm]\bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}}[/mm] )= 0 , da der Zähler Null
> wird durch [mm]e^{-\infty}=0[/mm]
>
> 3) Was ist eine Koordinatenfunktion? Meinen die eine ganz
> normale Funktion?
Na, $F$ ist doch eine Abbildung von [mm] $\IR\to\IR^n$, [/mm] bildet also ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] ab auf [mm] $F(x)=\vektor{F_1(x)\\F_2(x)\\\vdots\\F_n(x)}$
[/mm]
Die [mm] $F_i$ [/mm] sind die Koordinatenfunktionen
> und was ist mit dem vektor gemeint bei c,d?
Was meinst du damit? Gemeint ist ein Vektor [mm] $G=\vektor{G_1\\G_2\\G_3\\\vdots\\G_{n-1}\\G_n}$ [/mm] mit [mm] $G_1,G_2,G_3,\ldots,G_n\in\IR$
[/mm]
>
>
> Danke vorab^^
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> 2) Das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}}dx}[/mm]
> konvergiert für
> a) [mm]\alpha<0[/mm]
> b) [mm]\alpha\le0[/mm]
> c) [mm]\alpha>0[/mm]
> d) [mm]\alpha\ge0[/mm]
>
> also meine Lösungen sind folgende:
>
> 2) würde ich sagen a),
das würde ich auch sagen ...
> weil [mm]\limes_{\alpha\rightarrow-\infty}[/mm] (
> [mm]\bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}}[/mm] )= 0 , da der Zähler Null
> wird durch [mm]e^{-\infty}=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das erschließt sich mir nicht ...
Das Integral konvergiert, falls es einen endlichen Wert hat.
Schätze ab gegen eine konvergente Majorante, also ein größeres Integral, von dem man weiß (oder leicht zeigen klann), dass es einen endlichen Wert hat.
Die Fälle, in denen $\alpha=0$ vorkommt, kann man abhaken, denn das wäre $\int\limits_{1}^{\infty}{1 \ dx}=\infty$, also divergent.
Es ist nach Vor. $x\ge 1$, also $\frac{1}{x}\le 1$
Damit $\frac{1}{x^{\alpha}}\le 1^{\alpha}=1$ für alle $\alpha\in\IR$
Damit $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{e^{\alpha x}}{x^{\alpha}} \ dx} \ \le \ \int\limits_{1}^{\infty}{e^{\alpha x}} \ dx}$
$=\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_{1}^{M}{e^{\alpha x} \ dx}=\lim\limits_{M\to\infty}\left[\frac{1}{\alpha}\cdot{}e^{\alpha x}\right]_1^M$
Nun schaue mal, wie sich das für $\alpha>0$ bzw. $\alpha<0$ verhält ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> 1) ges. Stammfunktion von der Funktion f(x)=3/x, x>0
>
> 2) Das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}}dx}[/mm]
> konvergiert für
> a) [mm]\alpha<0[/mm]
> b) [mm]\alpha\le0[/mm]
> c) [mm]\alpha>0[/mm]
> d) [mm]\alpha\ge0[/mm]
>
> 3) Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Eine Funktion
> [mm]F:\IR\to\IR^{n}[/mm] ist differenzierbar im Punkt [mm]t_{0}=0,[/mm] wenn
>
> a) alle Koordinatenfunktionen differenzierbar sind.
> b) der Grenzwert
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}h^{-1}(F(h)-F(0))[/mm] existiert.
> c) es einen Vektor [mm]G\in\IR^{n}[/mm] gibt mit
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}h^{-1}(F(h)-F(0)-hG)=0[/mm]
> d) es einen Vektor [mm]G\in\IR^{n}[/mm] gibt mit
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}(F(h)-F(0)-hG)=0[/mm]
bei b), c) und d) soll es wohl $h [mm] \to [/mm] 0$ lauten und nicht $h [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
> Hallo,
>
> also meine Lösungen sind folgende:
>
> 1) [mm]f(x)=\bruch{3}{x}=3*\bruch{1}{x}[/mm] -->
> F(x)=3*lnx=ln(3*x)
>
> 2) würde ich sagen a), weil
> [mm]\limes_{\alpha\rightarrow-\infty}[/mm] (
> [mm]\bruch{e^{\alpha*x}}{x^{\alpha}}[/mm] )= 0 , da der Zähler Null
> wird durch [mm]e^{-\infty}=0[/mm]
>
> 3) Was ist eine Koordinatenfunktion? Meinen die eine ganz
> normale Funktion?
> und was ist mit dem vektor gemeint bei c,d?
>
>
> Danke vorab^^
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