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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Mo 09.05.2005 | | Autor: | TimBuktu |
Hi. Ich komm hier grad nicht voran. Hat jemand nen Tipp?
zzg. Die Funktion
f: [mm] \IR^2\mapsto\IR [/mm] mit f(0,0)=0 und
[mm] f(x,y)=\bruch{x^2y}{x^2+y^3} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm]
ist im Nullpunkt nicht total differenzierbar, aber partiell differenzierbar.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo TimBuktu!
Die partiellen Ableitungen existieren offenbar und sind gleich $0$, da ja bereits die entsprechenden Differenzenquotienten alle verschwinden.
Wäre also $f$ total differenzierbar, dann müsste das totale Differential (der Gradient) das Nulldifferential sein. Insbesondere müsste
[mm] $\lim\limits_{(x,y) \mapsto (0,0)} \frac{|f(x,y)|}{\Vert (x,y) \Vert_2} [/mm] = 0$
gelten.
Es gilt aber für [mm] $(x_n,y_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)_{n \in \IN}$
[/mm]
[mm] $\frac{f(x_n,y_n)}{\sqrt{x_n^2+y_n^2}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{n^3}}{\left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right) \cdot \sqrt{2} \frac{1}{n}} \to \frac{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] $(n [mm] \to \infty)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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