Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenende Funktion in jeden Punkt x [mm] \in\IR [/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.
(a) [mm] f(x)=x^2e^{sin{x}} [/mm] |
Mein Ansatz lautet:
(a) Eine Funktion f: I-> [mm] \IR [/mm] heißt differenzierbar in [mm] x_0 \in [/mm] I, falls der Grenzwert:
[mm] f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
existiert.
Angewand auf meine Aufgabenstellung:
[mm] f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {(x+h)^2e^{sin(x+h)}-x^2e^{sinx}}{h}
[/mm]
[mm] f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {(x^2+2hx+h^2)*e^{sin(x+h)}-x^2e^{sinx}}{h}
[/mm]
[mm] f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {x^2e^{sin(x+h)}+2hxe^{sin(x+h)}+h^2e^{sin(x+h)}-x^2e^{sinx}}{h}
[/mm]
Nun komme ich nicht mehr weiter...bin dankbar für jeden Tipp;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die folgenende Funktion in jeden Punkt x
> [mm]\in\IR[/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie die
> Ableitung.
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> (a) [mm]f(x)=x^2e^{sin{x}}[/mm]
> Mein Ansatz lautet:
> (a) Eine Funktion f: I-> [mm]\IR[/mm] heißt differenzierbar in [mm]x_0 \in[/mm]
> I, falls der Grenzwert:
> [mm]f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
>
> existiert.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mit dem Differentialquotienten würde ich hier nichts machen.
Es sind doch die Ableitungsregeln bekannt, oder nicht?
Die Differenzierbarkeit kannst Du damit begründen, daß f als Komposition diffbarer Funktionen diffbar ist.
Dann ableiten mit den entsprechenden Regeln.
Gruß v. Angela
> Angewand auf meine Aufgabenstellung:
> [mm]f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {(x+h)^2e^{sin(x+h)}-x^2e^{sinx}}{h}[/mm]
>
> [mm]f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {(x^2+2hx+h^2)*e^{sin(x+h)}-x^2e^{sinx}}{h}[/mm]
>
> [mm]f'(x_0) :=\lim_{h \to 0} \frac {x^2e^{sin(x+h)}+2hxe^{sin(x+h)}+h^2e^{sin(x+h)}-x^2e^{sinx}}{h}[/mm]
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> Nun komme ich nicht mehr weiter...bin dankbar für jeden
> Tipp;)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Klar Ableitungsregeln sind bekannt, laut Produktregel:
[mm] f(x)=x^2e^{sin(x)}
[/mm]
f'(x)= [mm] 2xe^{sin(x)}+x^2cos(x)e^{sinx}
[/mm]
Es reicht doch aber sicher nicht, zu schreiben, dass die Funktionen eine Komposition differenzierbarer Funktionen ist, oder?
Muss ich die einzelnen Komponenten mittels Differentialquotienten auf Differenzierbarkeit prüfen, oder geht es auch eleganter?
Gruß Julia
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> Klar Ableitungsregeln sind bekannt, laut Produktregel:
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> [mm]f(x)=x^2e^{sin(x)}[/mm]
> f'(x)= [mm]2xe^{sin(x)}+x^2cos(x)e^{sinx}[/mm]
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> Es reicht doch aber sicher nicht, zu schreiben, dass die
> Funktionen eine Komposition differenzierbarer Funktionen
> ist, oder?
>
Hallo,
sofern Ihr hattet, daß x, [mm] e^x [/mm] und sin(x) diffbar sind, und die Sätze über Summen, Produkte, Verkettungen diffbarer Funktionen reicht das - auch in Klausuren.
> Muss ich die einzelnen Komponenten mittels
> Differentialquotienten auf Differenzierbarkeit prüfen,
> oder geht es auch eleganter?
Ich bin mir sehr sicher, daß Du dich auf die Vorlesung beziehen kannst. Die Diffbarkeit der Zutaten war doch gewiß dran. (?)
Ansonsten muß sie in der Tat nachgewiesen werden - glaub' ich aber nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Julia_stud |
Na das sind doch mal erfreuliche neue Kentnisse für mich :)
Noch ein schönes Wochenende
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