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Differenzierbarkeit: Frage (mit Ansatz)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Fr 08.04.2005
Autor: MrCoffee

Hallo zusammen sitze hier an folgender Aufgabe bedanke mich im Vorraus für alle Hilfe.

es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine beschränkte Funktion. Zeigen Sie dass die Funktion
g: [mm] \IR \to \IR [/mm] g(x):= [mm] x^{2}*f(x) [/mm] an der stelle 0 diffbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.

Ansatz : [mm] \limes_{x \rightarrow\ 0} \bruch{g(x)-g(0)}{x-0} [/mm] =
[mm] \limes_{x \rightarrow\ 0} [/mm] x*f(x)

Darf man jetzt den grenzwert bilden oder wär das dann zu einfach habe auch ja noch nicht verwendet das f beschränkt ist das steht ja nicht ohne Grund da. Danke Mr Coffee

Ich hab diese Frage in keinem andern Forum auf der ganzen weiten Welt gestellt.
        
Bezug
Differenzierbarkeit: Beschränktheit (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Fr 08.04.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen MrCoffee (habe auch gerade eine Tasse [kaffeetrinker] vor mir ...)



> es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine beschränkte Funktion.
> Zeigen Sie dass die Funktion g: [mm]\IR \to \IR[/mm] g(x):= [mm]x^{2}*f(x)[/mm] an
> der stelle 0 diffbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.
>  
> Ansatz : [mm]\limes_{x \rightarrow\ 0} \bruch{g(x)-g(0)}{x-0} = \limes_{x \rightarrow\ 0}x*f(x)[/mm]

[daumenhoch] Ruhig noch ein paar Zwischenschritte mehr aufschreiben ...



> Darf man jetzt den grenzwert bilden oder wär das dann zu
> einfach habe auch ja noch nicht verwendet das f beschränkt
> ist das steht ja nicht ohne Grund da.

Natürlich steht das nicht ohne Grund da. Denn die Beschränktheit ist die Voraussetzung, daß wir überhaupt die Grenzwertsätze anwenden dürfen.


Wir wollen doch nun weitermachen mit:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] \ = \ 0 * f(0) \ = \ ...$


Edit: Nach Rücksprache ;-) korrigiert. Loddar

Dieser Grenzwertsatz (Grenzwerte zerlegen) gilt aber nur, wenn auch wirklich beide Grenzwerte existieren, [...].

Da kommt nun die Beschränktheit ins Spiel, daß diese Bedingung eingehalten wird.


f beschränkt   [mm] $\Rightarrow$[/mm]   [mm]|f| \ \le \ C[/mm]

[mm] $\Rightarrow$[/mm]   [mm]|x \cdot f(x)| \le C \cdot |x|[/mm],


Dies' ist kleiner als ein vorgegebenes [mm]\varepsilon>0[/mm], wenn [mm]|x|<\frac{\varepsilon}{C}[/mm] gewählt wird.


Daraus folgt: [mm]\lim\limits_{x \to 0}|x \cdot f(x)| = 0[/mm].



Gruß
Loddar

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