Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Do 03.03.2005 | | Autor: | Etron |
Hallo zusammen,
bräuchte bei folgender Aufgabe etwas Hilfe:
x*sin [mm] (\bruch{1}{x}), [/mm] falls [mm] x\ne0
[/mm]
f(x)=
0,falls x=0
Es ist hier nach der Differenziebarkeit an der Stelle x=0 gefragt.
Mein Problem: Die Def.-Lücke wir ja auch nicht durch die zweite Bedingung vereinfacht. Ich habe es in den Differentialquotienten eingesetzt, doch die Def.-Lücke zwingt mich immer wieder in die Knie.
Könnte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 03.03.2005 | | Autor: | Max |
Vielleicht heißt dass ja gerade, dass die Funktion nicht differenzierbar ist, oder?
[mm] $\lim_{x \to 0} \frac{x\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
[/mm]
Wählt man [mm] $a_n =\frac{1}{\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi}$ [/mm] und [mm] $b_n=\frac{1}{\left(2n+\frac{3}{2}\right)\pi}$ [/mm] hat man zwei Nullfolgen für die gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \sin\left(\frac{1}{a_n\right)}=1 \neq [/mm] -1 = [mm] \lim_{x \to \infty}\sin\left(\frac{1}{b_n}\right)$
[/mm]
Damit ist gezeigt, dass der Grenzwert [mm] $\lim_{x \to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] nicht existiert.
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 03.03.2005 | | Autor: | Etron |
Hi und danke für die Antwort, aber muss man hier wirklich mit Nullfolgen arbeiten, um auf die Antwort zu kommen?
Hat noch jemand einen anderen Weg, denn wie ma Def.-Lücke umgehen kann, habe ich nicht ganz nachvollziehen können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 03.03.2005 | | Autor: | Max |
Hi etron,
ich glaube du musst so vorgehen, weil auch die Ableitungsfunktion in Ursprung nicht stetig ist, sonst könntest du die linksseitige und rechtseitige Ableitung in $0$ berechnen und vergleichen.
Gruß Brackhaus
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