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| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = x [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] - {0}
und f(0) = 0.
(a) Zeigen Sie, dass f in [mm] \IR [/mm] - {0} differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von f.
(b) Weisen Sie nach, dass f in 0 nicht differenzierbar ist. |
Hallo zusammen,
eine letzte Aufgabe hab ich heute noch :)
Bei (a) hab ich zuerst die Ableitung gebildet:
f'(x) = [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + x [mm] cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
Nun muss ich ja zeigen, dass diese für alle x [mm] \in \IR [/mm] - {0} existiert.
Deshalb wollte ich sie gleich Null setzen, und zeigen, dass kein x diese Gleichung erfüllt:
[mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + x [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0
[mm] \gdw
[/mm]
x = - [mm] \bruch{sin(\bruch{1}{x})}{cos(\bruch{1}{x})}
[/mm]
Hier komm ich jetzt allerdings nicht mehr weiter...
Stimmt das denn bis hierhin?
Und bei (b) wollte ich einfach zeigen, dass f in 0 nicht stetig ist, und somit ist f dort ja auch nicht differenzierbar.
Oder kann man das anders besser zeigen?
Ich hoffe ihr könnt mir nochmal helfen.
Danke im Voraus
Gruß Michael
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 21.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Zu a)... du hast erstens bei der Ableitung die innere Ableitung von 1/x vergessen und zweitens reicht als Begründung für die Differenzierbarkeit aus, dass x und sin x und 1/x differenzierbar sind in [mm] \IR\setminus\{0\}, [/mm] sowie ein Verweis auf Ketten- und Produktregel.
Zu b)... die Funktion ist aber stetig in 0! Du musst hierbei den Differenzenquotienten bemühen.
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Stimmt, hab ich nicht gesehen.Ok, nun ist alles klar. Danke Dir
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 21.08.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x) = x [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] für x
> [mm]\in \IR[/mm] - {0}
> und f(0) = 0.
>
> (a) Zeigen Sie, dass f in [mm]\IR[/mm] - {0} differenzierbar ist und
> bestimmen Sie die Ableitung von f.
>
> (b) Weisen Sie nach, dass f in 0 nicht differenzierbar
> ist.
um zu zeigen, dass [mm] $\lim_{h \to 0}\,\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ [/mm] für die gegebene Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] nicht existiert, gebe ich Dir mal folgenden Tipp:
Betrachte die Folge [mm] $h_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*\pi}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
(D.h. überlege Dir, dass [mm] $h_n \to [/mm] 0$, aber [mm] $\lim_{n \to \infty}\,\frac{f(0+h_n)-f(0)}{h_n}$ [/mm] nicht existiert. Verweis ggf. auf Def. 10.4 in folgendem ![[]](/images/popup.gif) Skript [mm] ($\leftarrow$ klick it!) und beachte bitte außerdem, dass eine in $\IR$ konvergente Folge einen und nur einen Häufungspunkt hat.)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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