Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich weiß nicht, od ich bei vektorwetigen Funktionen den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit vollkommen verstanden habe... :-(.
In Analysis I war das klar, dass aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt.
Aber hier habe ich ein wenig Schwierigkeiten, da leider in meinem Skript einige Fehler aufgetreten sind!
Sehe ich das richtig, dass aus der partiellen Differenzerbarkeit nicht i.A. die Stetigkeit folgt?
Aber wenn [mm] f: U \to \mathbb R^m [/mm] zum Beispiel partiell Differenzierbar ist und die [mm] D_j f_i : U \ro \mathbb R [/mm] stetig sind, dann ist f auch stetig.
Also muss die Funktion von der Klasse [mm] C^1 [/mm] sein also partiell differenzierbar und die Ableitungen stetig, damit f stetig ist.
Ist das so richtig?
Aber wie ist das dann mit der total Differenzierbarkeit?
Folgt aus ihr die Stetigkeit, weil die Funktion ja dann bereits [mm] C^1 [/mm] ist?
Ich hoffe jemand kann mir dabei behilflich sein, und in mein Chaos ein wenig Ordnung hineinbringen  .
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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> Guten Tag alle zusammen!
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> Ich weiß nicht, od ich bei vektorwetigen Funktionen den
> Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit
> vollkommen verstanden habe... :-(.
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> In Analysis I war das klar, dass aus der
> Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt.
>
> Aber hier habe ich ein wenig Schwierigkeiten, da leider in
> meinem Skript einige Fehler aufgetreten sind!
>
> Sehe ich das richtig, dass aus der partiellen
> Differenzerbarkeit nicht i.A. die Stetigkeit folgt?
Richtig. Partielle Differenzierbarkeit berücksichtigt ja nur das Verhalten der Funktion, wenn man deren Argument in Richtung der Koordinatenachsen variiert. Bei Variation des Arguments in andere Richtungen kann sich die Funktion deshalb im Prinzip beliebig wild verhalten, ohne dadurch die Existenz der partiellen Ableitungen negativ zu beeinflussen. Einfaches Beispiel: Du kannst z.B. eine Funktion [mm] $f:\IR^2\rightarrow \IR$ [/mm] für $x=0$ oder $y=0$ gleich $0$ definieren und dann für $x,y$ beide ungleich $0$ etwas beliebig Wildes festlegen, was die Stetigkeit in $(0,0)$ problemlos widerlegt.
> Aber wenn [mm]f: U \to \mathbb R^m[/mm] zum Beispiel partiell
> Differenzierbar ist und die [mm]D_j f_i : U \ro \mathbb R[/mm]
> stetig sind, dann ist f auch stetig.
> Also muss die Funktion von der Klasse [mm]C^1[/mm] sein
Diese Voraussetzung, [mm] $f\in \mathcal{C}^1$, [/mm] ist zu stark: denn diese Voraussetzung selbst besagt schon, dass die Funktion (mindestens) einmal (total) differenzierbar ist und ihre Ableitung [mm] $df:\IR^n\rightarrow(\IR^n\rightarrow \IR^m)$ [/mm] zudem stetig. (Bem: ich habe hier der Einfachheit halber den Definitionsbereich von $df$ als ganz [mm] $\IR^n$ [/mm] hingeschrieben, gemeint ist natürlich im konkreten Fall ev. nur eine Teilmenge des [mm] $\IR^n$ [/mm] - oder was immer genau der Definitionsbereich von $f$ sein soll - Banachraum?)
> also
> partiell differenzierbar und die Ableitungen stetig, damit
> f stetig ist.
Aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen an einer bestimmten Stelle [mm] $x_0$ [/mm] folgt primär einmal die (totale) Differenzierbarkeit (Existenz der totalen Ableitung [mm] $df(x_0)$) [/mm] an dieser Stelle. Stetigkeit folgt dann in einem zweiten Schritt aus der Existenz der (totalen) Ableitung an dieser Stelle [mm] $x_0$ [/mm] (siehe unten).
> Aber wie ist das dann mit der total Differenzierbarkeit?
> Folgt aus ihr die Stetigkeit,
Richtig: Aus der Existenz der (totalen) Ableitung $df$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] alleine folgt schon, dass die Funktion $f$ an der betreffenden Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist. Dies einfach wegen der üblichen Definition der (totalen) Ableitung von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] als eine (stetige) lineare Abbildung [mm] $df(x_0):\IR^n\rightarrow\IR^m$ [/mm] mit der Eigenschaft, dass
[mm]f(x)=f(x_0)+df(x_0)(\Delta x)+o(\parallel \Delta x\parallel)[/mm]
Denn dies bedeutet ja, dass
[mm]\parallel f(x)-f(x_0)\parallel = \parallel df(x_0)(\Delta x)+o(\parallel \Delta x\parallel)\parallel\rightarrow 0,\quad \text{für $\Delta x\rightarrow 0$}[/mm]
> weil die Funktion ja dann bereits [mm]C^1[/mm] ist?
Aus der totalen Differenzierbarkeit (und damit auch Stetigkeit) einer Funktion [mm] $f:\IR^n\rightarrow\IR^m$ [/mm] an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] folgt noch nicht, dass ihre Ableitung [mm] $df:\; \IR^n\rightarrow (\IR^n\rightarrow \IR^m)$ [/mm] ebenfalls stetig ist. D.h. es könnte im Prinzip (einmalige) totale Differenzierbarkeit einer Funktion vorliegen, ohne dass sie deswegen schon in [mm] $\mathcal{C}^1$ [/mm] liegen müsste. In [mm] $\mathcal{C}^1$ [/mm] zu liegen einer Funktion $f$ bedeutet ja, dass sie mindestens einmal (total) differenzierbar ist und ihre Ableitung $df$ stetig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
Als erstes vielen Dank für die ausfürliche Antwort!
Wenn ich das nochmal zusammenfassen solle, dann kann ich also sagen, dass die Stetigkeit einer Funktion f i.A. nicht aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt, aber aus der totalen Differenzierbarkeit.
Richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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Hey,
so ist es korrekt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße Patrick
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