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| Aufgabe | Es sei [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] stetig, [mm] x_{0} \in]a,b[. [/mm] Weiterhin sei f differenzierbar auf [mm] [a,b]\setminus {x_{0}}, [/mm] und es existiere [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x) [/mm] = g.
Zeigen sie: f ist auch in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar mit der Ableitung [mm] f'(x_{0}) [/mm] = g. |
Guten morgen allerseits!
Mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz, kann mich bitte jemand in die richtige Richtung "stubsen"? 
Danke schonmal!
lg
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> Es sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] stetig, [mm]x_{0} \in]a,b[.[/mm] Weiterhin sei
> f differenzierbar auf [mm][a,b]\setminus {x_{0}},[/mm] und es
> existiere [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)[/mm] = g.
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> Zeigen sie: f ist auch in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar mit der
> Ableitung [mm]f'(x_{0})[/mm] = g.
> Guten morgen allerseits!
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> Mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz, kann mich bitte
> jemand in die richtige Richtung "stubsen"?
Benutze den Mittelwertsatz der Differentialrechnung um zu zeigen, dass die folgenden beiden einseitigen Limites existieren und gleich [mm]g[/mm] sind:
[mm]\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g[/mm] und [mm]\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g[/mm]
> Danke schonmal!
Gern geschehen...
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