Differenzierbarkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo
habe ene Frage zu folgender AUfgabe:
Zeigen Sie dass die FUnktion:
f: [mm] |R_{>0} [/mm] -> |R
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x = \bruch{p}{q} \mbox{mit teilerfremden p,q } \end{cases}
[/mm]
nirgendwo differenzierbar ist.
es ist bekannt dass f an den rationalen stellen unstetig und an den irrationalen stellen stetig ist.
da diffbarkeit stetigkeit impliziert folgt ja schonmal dass sie an den rationalen stellen nicht diffbar ist.
an den irrationalen ist sie stetig. ich habe versucht mit dem differentialquotienten zu zeigen dass der grenzwert für eine beliebigen irrationalen punkt a nicht existiert. dazu habe ich versucht eine folge rationaler zahlen mit limes a zu finden finden mit der ich zu irgendeinem widerspruch komme.
das hat dann so geendet:
sei [mm] x_n [/mm] eine folge teilerfremder rationaler zahlen [mm] \bruch{p_n}{q_n}
[/mm]
[mm] (q_n [/mm] ist nicht beschränkt)
folgt nach umformen:
lim (x->a) [mm] \bruch{1}{q_n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{p_n}{q_n}-a}
[/mm]
aber existiert der grenzwert? oder nicht? und wieso?
das einzige was ich mir erklären könnte wäre:
ne weitere umformung führt zu:
lim(x->a) [mm] \bruch{1}{q_n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{p_n-q_n*a}
[/mm]
und dass der grenzwert evtl nicht existiert weil [mm] p_n q_n [/mm] teilwerfremd sind?
ich weiß leider nicht weiter.
Bitte um Hilfe
Mfg Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Sa 20.01.2007 | | Autor: | FrankM |
> f: [mm]|R_{>0}[/mm] -> |R
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x = \bruch{p}{q} \mbox{mit teilerfremden p,q } \end{cases}[/mm]
>
> nirgendwo differenzierbar ist.
> es ist bekannt dass f an den rationalen stellen unstetig
> und an den irrationalen stellen stetig ist.
Die Funktion ist auch an den irrationalen Stellen unstetig. Daher ist sie hier auch nicht differenzierbar. Um dies zu zeigen, nutze dass die rationalen Zahlen dicht in in den reellen Zahlen liegen.
Gruß
Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 So 21.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ja das denkt man zuerst, aber es stimmt schon dass f in allen irrationalen stellen stetig ist. das zeigt man indem man eine beliebige folge [mm] x_n [/mm] := [mm] \bruch{p_n}{q_n} [/mm] annimmt. mit grenzwert [mm] x_0 [/mm] irrational. man kann dann zeigen dass [mm] q_n [/mm] nicht beschränkt ist. damit gilt dann lim [mm] f(x_n) [/mm] = lim [mm] \bruch{1}{q_n} [/mm] = 0 = [mm] f(x_0).
[/mm]
Ja also das ist das problem. wie zeige ich dass f an diesen stetigen stellen nicht diffbar ist? wie muss ich meine folge wählen so dass der differentialquotient nicht existiert?
mfg thomas
|
|
|
| |
|
ja das denkt man zuerst, aber es stimmt schon dass f in allen irrationalen stellen stetig ist. das zeigt man indem man eine beliebige folge [mm] x_n [/mm] := [mm] \bruch{p_n}{q_n} [/mm] annimmt. mit grenzwert [mm] x_0 [/mm] irrational. man kann dann zeigen dass [mm] q_n [/mm] nicht beschränkt ist. damit gilt dann lim [mm] f(x_n) [/mm] = lim [mm] \bruch{1}{q_n} [/mm] = 0 = [mm] f(x_0).
[/mm]
Ja also das ist das problem. wie zeige ich dass f an diesen stetigen stellen nicht diffbar ist? wie muss ich meine folge wählen so dass der limes des differentialquotient nicht existiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 So 21.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hat denn niemand eine Idee wie man das zeigen könnte?
Mfg Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Di 23.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
