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| Aufgabe | Die zweite Ableitung u'' einer reellen Funktion u(x) kann auf einem Gitter der Machenweite h durch folgenden Differenzenstern diskretisiert werden:
[mm] \bruch{1}{12*h^2} [/mm] [-1 16 -30 16 -1]
a) Geben Sie die Näherung [mm] u''_h(x_i) [/mm] am Gitterpunkt [mm] x_i [/mm] explizit an.
b) Ermitteln Sie die Konsistenzordnung dieser Diskretisierung. Verweden Sie hierzu geeignte Taylor-Entwicklungen von u am Punkt [mm] x_i. [/mm] |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf die PraMa1 Klausur vor und bin bei dieser Klausuraufgabe vom letzten Jahr hängen geblieben.
Ich verstehe leider überhaupt nicht, wie man auf den Differenzenstern kommt, bzw wenn man ihn hat, wie man dann damit weiterrechnet. Leider hat mir auch ausführliches googlen nicht weitergeholfen.
Vllt kann mir das ja jmd erklären, so dass ich einen Ansatz zur Lösung finden kann.
Danke
Sarah
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Die zweite Ableitung u'' einer reellen Funktion u(x) kann
> auf einem Gitter der Machenweite h durch folgenden
> Differenzenstern diskretisiert werden:
> [mm]\bruch{1}{12*h^2}[/mm] [-1 16 -30 16 -1]
> a) Geben Sie die Näherung [mm]u''_h(x_i)[/mm] am Gitterpunkt [mm]x_i[/mm]
> explizit an.
> b) Ermitteln Sie die Konsistenzordnung dieser
> Diskretisierung. Verweden Sie hierzu geeignte
> Taylor-Entwicklungen von u am Punkt [mm]x_i.[/mm]
Ich glaube, mit dem Differenzenstern war das so:
Du diskretisierst ja damit deine Ableitung, und zwar nimmst du Funktionswerte an den Stellen x, x+h und x-h, wenn du die erste Ableitung nimmst, und ich glaube noch z. B. x+2h und x-2h bei der zweiten Ableitung. Und wie oft du die jeweils nimmst, genau das steht im Differenzenstern. Demnach wäre das hier dann:
[mm] \br{1}{12h^2}(-u(x-2h)+16u(x-h)-30u(x)+16u(x+h)-u(x+2h))
[/mm]
Könnte das so hinkommen? Schätzungsweise gab es für diesen Aufgabenteil nur einen Punkt? Da man das, wenn man es weiß, nur einfach ablesen muss. Aber guck mal in deine Vorlesungsunterlagen, evtl. steht da doch etwas Analoges für die erste Ableitung, oder du findest es in irgendeinem Buch. Wenn man weiß, dass es ungefähr so etwas sein muss, dann versteht man manchmal auch Sachen, die man irgendwo liest, besser und weiß dann, dass es so richtig ist. (Bin mir da im Moment nämlich nicht mehr 100 pro sicher...)
Bei der Konsistenzordnung wusste ich nie genau, was das ist (da gab es auch noch eine andere Ordnung...), aber das dürftest du evtl. auch für die erste Ableitung in der Vorlesungsmitschrift oder einem Buch finden. Einfach mal mit Taylor anfangen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Sarahmaus |
Danke für die schnelle Antwort!
Ja ich glaub jetzt versteh ich das, was bei uns im Skript so'n Formelgewurschtel ist :) und stimmt gab nur einen Punkt.
Werd mir jetzt mal unsere Definition von Konsistenzordnung ansehen, vielleicht versteh ich sie ja jetzt :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Sarahmaus!
Ist die Frage noch aktuell? Habe nämlich festgestellt, dass ich etwas sehr ähnliches im Moment auch noch einmal lernen muss.
> Die zweite Ableitung u'' einer reellen Funktion u(x) kann
> auf einem Gitter der Machenweite h durch folgenden
> Differenzenstern diskretisiert werden:
> [mm]\bruch{1}{12*h^2}[/mm] [-1 16 -30 16 -1]
> a) Geben Sie die Näherung [mm]u''_h(x_i)[/mm] am Gitterpunkt [mm]x_i[/mm]
> explizit an.
> b) Ermitteln Sie die Konsistenzordnung dieser
> Diskretisierung. Verweden Sie hierzu geeignte
> Taylor-Entwicklungen von u am Punkt [mm]x_i.[/mm]
Ich weiß jetzt, glaube ich, immerhin, was du machen musst. Und zwar ist die Konsistenzordnung die Ordnung des Diskretisierungsfehlers, und der Diskretisierungsfehler ist die Differenz zwischen dem analytischen Ausdruck und der Diskretisierung. So steht es in unserem Computer Vision Skript.  Mit analytischer Ausdruck ist hier wohl die Taylorapproximation gemeint.
Das heißt im Prinzip: du sollst die zweite Ableitung mit der Taylor-Entwicklung approximieren und zwar einmal am Punkt [mm] x_i+\epsilon, [/mm] einmal am Punkt [mm] x_i-\epsilon [/mm] und dann noch an den Punkten [mm] x_i+2\epsilon [/mm] und [mm] x_i-2\epsilon. [/mm] Die musst du dann geeignet addieren oder subtrahieren und nach [mm] u''(x_i) [/mm] auflösen. Da kürzen sich dann einige Sachen weg und es steht irgendwo ein "Restterm" z. B. [mm] o(\epsilon^4) [/mm] - dann wäre die Konsistenzordnung wohl 4.
Leider weiß ich im Moment nicht, wie man die Taylorentwicklung bei [mm] x_i+2\epsilon [/mm] und [mm] x_i-2\epsilon [/mm] macht, aber vielleicht weißt du das ja.
Übrigens würde mich eine Lösung dieser Aufgabe interessieren - wenn du also eine hast, wäre es schön, wenn du sie noch posten könntest.
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 So 04.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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