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| Aufgabe | 1) Eine Halbkugelschale vom Radius R>0 wird bis zur Höhe h [mm] (\le [/mm] R) mit Wein gefüllt.
a) Berechnen Sie das Füllvolumen V(h) aus V'(h). Erläutern Sie dazu zunächst, welche geometrische Größe der Weinfüllung durch [mm] \bruch{V(h+ \Delta h)-V(h)}{ \Delta h} [/mm] näherungsweise und durch V'(h) exakt berechnet wird. Bestimmen Sie danach V(h).
b) Bei welchem Verhältnis x=(h/R) ist die Halbkugelschale zur Hälfte mit Wein gefüllt? |
Hallo,
also, b) ist hier das Problem.
Bei a) kann man V(h) berechnen mit Hilfe der Oberfläche und bekommt dann die Stammfunktion:
[mm] V(h)=\pi(R*h^{2}-\bruch{1}{3}h^{3})
[/mm]
So, dann haben wir in der Vorlesung berechnet, bei welchem h die Halbkugelschale zur Hälfte gefüllt ist.
Dafür haben wir die Gleichung:
[mm] V(h)=\bruch{1}{3} \pi [/mm] R ^{3}
bekommen.
Und ich frage mich die ganze Zeit wie wir wohl bloß darauf gekommen sind. Kann mir da jemand einen Tipp geben??
Wie wir weitergerechnet haben verstehe ich auch nicht:
[mm] \pi(Rh^{2}-\bruch{1}{3}h^{3})=\bruch{1}{3}\piR^{3} |*\bruch{1}{R^{3}}
[/mm]
[mm] ((\bruch{h}{R})^{2}-\bruch{1}{3}(\bruch{h}{R})^{3})=(1/3)
[/mm]
Jetzt setzen wir dann x=(h/R) und versuchen nun mit einigen Verfahren, irgendwie eine Nullstelle zu berechnen....
Kann mir jemand einen Tipp geben und sagen, warum wir das hier alles machen, und warum wir damit anscheinend das gesuchte h bekommen??? Wäre super.. ich versteh das überhaupt nicht...
Viele Grüße,
Anna
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> [mm]V(h)=\pi(R*h^{2}-\bruch{1}{3}h^{3})[/mm]
> So, dann haben wir in der Vorlesung berechnet, bei welchem
> h die Halbkugelschale zur Hälfte gefüllt ist.
> Dafür haben wir die Gleichung:
> [mm]V(h)=\bruch{1}{3} \pi[/mm] R ^{3}
> bekommen.
> Und ich frage mich die ganze Zeit wie wir wohl bloß darauf
> gekommen sind. Kann mir da jemand einen Tipp geben??
Die Hälfte einer Halbkugel ist ein Viertel einer Kugel ...
> Wie wir weitergerechnet haben verstehe ich auch nicht:
>
> [mm]\pi(Rh^{2}-\bruch{1}{3}h^{3})=\bruch{1}{3}\piR^{3} |*\bruch{1}{R^{3}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") diese Gleichung stimmt so nicht
das [mm] \pi [/mm] kürzt sich beidseitig raus
>
> [mm]((\bruch{h}{R})^{2}-\bruch{1}{3}(\bruch{h}{R})^{3})=(1/3)[/mm]
Wenn man nach dem Kürzen von [mm] \pi [/mm] alles mit 3
multipliziert , kommt man auf die Gleichung
[mm] 3Rh^2-h^3=R^3
[/mm]
Nun kann man durch [mm] R^3 [/mm] dividieren und kommt
zu:
[mm] \bruch{3h^2}{R^2}-\bruch{h^3}{R^3}=1
[/mm]
was man als [mm] 3x^2-x^3=1 [/mm] schreiben kann, wobei [mm] x=\bruch{h}{R}
[/mm]
Geordnet notiert ist die verbleibende Gleichung:
[mm] x^3-3x^2+1=0
[/mm]
Um sie zu lösen, braucht man ein Näherungsverfahren,
z.B. das von Newton-Raphson. dabei nimmt man als
Startwert einen Schätzwert, den man aus der Anschauung
der halbvollen Schale leicht gewinnen kann.
> Jetzt setzen wir dann x=(h/R) und versuchen nun mit einigen
> Verfahren, irgendwie eine Nullstelle zu berechnen....
> Kann mir jemand einen Tipp geben und sagen, warum wir das
> hier alles machen, und warum wir damit anscheinend das
> gesuchte h bekommen??? Wäre super.. ich versteh das
> überhaupt nicht...
Statt der Substitution mit dem x könnte man natürlich
auch einen allenfalls gegebenen Zahlenwert für den
Radius R einsetzen. Mit der Substitution hat man aber
den Vorteil, dass man
a) eine recht einfache Gleichung hat
b) die Frage für alle möglichen Kugelradien gelöst hat
Denselben Effekt wie mit der Substitution könnte man
auch erzielen, wenn man den Kugelradius als Masseinheit
betrachtet, also einfach R=1 L.E. setzt (und allenfalls
später auf die realen Masseinheiten umrechnet).
LG
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