Differenzenquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie durch Betrachtung des Differenzenquotienten (lim h->0...) die Ableitungen der folgenden Funktion.
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + x^{2}}} [/mm] |
Ich weiß, dass ich momentan viele Fragen stelle, aber momentan kommt halt vieles zusammen. Und fragen kann man ja immer, denk ich.
Da gibts mehrere Aufgaben, aber nur die kriege ich davon nicht hin.
[mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{1+(x+h)^{2}}} - \bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}}{h}
[/mm]
Wie kann man den vereinfachen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 So 24.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Count!
Bilde im Zähler den Hauptnenner der beiden "kleinen" Brüche und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Der Hauptnenner wäre dann aber doch (nur um sicher zu gehn ;))
[mm] \wurzel{1 + x^{2} + xh + h^{2} + x^{2} + x^{4} + x^{3}h + h^{2}x^{2}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 So 24.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Count!
Um Himmels willen! Bitte nicht ausmultiplizieren, da mchst du es nur unnötig kompliziert.
Ich habe Deinen Vorschlag jetzt nicht nachgerechnet.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Kannst du mir denn grob sagen, wies sonst geht? Mir fällt grad nichts anderes ein.
|
|
|
| |
|
Hallo Count,
mache erstmal im Zähler gleichnamig, schreibe [mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{1+(x+h)^{2}}} - \bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}}{h}=\frac{1}{h}\cdot{}\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+(x+h)^2}}{\sqrt{1+(x+h)^2}\cdot{}\sqrt{1+x^2}}[/mm]
Nun erweitere mit [mm]\sqrt{1+x^2}\red{+}\sqrt{1+(x+h)^2}[/mm]
Dann bekommst du im Zähler mit der 3.binomischen Formel die Wurzeln weg.
Im Nenner nicht ausmultiplizieren, sondern [mm]\sqrt{...}\cdot{}\sqrt{...}\cdot{}(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+(x+h)^2})[/mm] stehenlassen.
Dann kannst du im Zähler h ausklammern und gegen das [mm]\frac{1}{h}[/mm] wegkürzen.
Danach [mm]h\to 0[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Nach all dem dürfte im Zähler nur noch x stehen. Und im Nenner ein Wurzelausdruck. Man kann den vereinfachen, aber muss man doch nicht unbedingt oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Nach all dem dürfte im Zähler nur noch x stehen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Rechne mal nur den Zähler vor!
Ich komme erstmal auf [mm]-2xh-h^2[/mm], also [mm]h(-2x-h)[/mm]
Das kannst du dann gegen das [mm]\frac{1}{h}[/mm] kürzen.
Machst du dann den Grenzübergang [mm]h\to 0[/mm], kannst du anschließend gar noch die 2 wegkürzen, aber das ist ein weiter Weg und ich vermute stark, dass du dort noch nicht angekommen bist
> Und im
> Nenner ein Wurzelausdruck. Man kann den vereinfachen, aber
> muss man doch nicht unbedingt oder?
Nee, den Nenner bloß so lassen, da passiert ja nach dem Erweitern nun nichts Böses mehr für [mm]h\to 0[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Danke ;)
Also, hab nochmal nachgerechnet.
Hab jetzt raus:
[mm] \bruch{-2x -h}{\wurzel{1+(x+h)^{2}} \* \wurzel{1+x^{2}} \* (\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+(x+h)^{2}})}
[/mm]
Hmm..was kann ich noch machen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke ;)
>
> Also, hab nochmal nachgerechnet.
>
> Hab jetzt raus:
>
> [mm]\bruch{-2x -h}{\wurzel{1+(x+h)^{2}} \* \wurzel{1+x^{2}} \* (\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+(x+h)^{2}})}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das sieht sehr gut aus!
>
> Hmm..was kann ich noch machen?
Na, was schreibe ich denn seit ner halben Stunde?
Mache nun endlich den Grenzprozess [mm] $h\to [/mm] 0$
Jetzt kann nix mehr passieren; das anfängliche Problem bei direktem Grenzübergang war das Teilen durch 0, das ist hier nun nicht mehr vorhanden!
Also: was passiert nun für [mm] $h\to [/mm] 0$?
Bald haste es geschafft 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Für h->0 müsste folgendes da stehn:
[mm] \bruch{-2x}{\wurzel{1+x^{2}} \* \wurzel{1+x^{2}} \* (\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+x^{2}})}
[/mm]
Und das ist jetzt das Ergebnis? Der Nenner kann also so bleiben?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Für h->0 müsste folgendes da stehn:
>
> [mm]\bruch{-2x}{\wurzel{1+x^{2}} \* \wurzel{1+x^{2}} \* (\wurzel{1+x^{2}} + \wurzel{1+x^{2}})}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Und das ist jetzt das Ergebnis? Der Nenner kann also so
> bleiben?
Klar kann er das, es sei denn, du magst es kompakter:
Das Produkt der beiden Wurzeln am Anfang ergibt [mm]1+x^2[/mm]
In der Klammer steht [mm]2\sqrt{1+x^2}[/mm]
Insgesamt im Nenner also [mm]2(1+x^2)^{\frac{3}{2}}[/mm]
Und die 2 kannst du auch noch kürzen - wie oben versprochen
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Super, das versteh ich ;) Danke vielmals.
|
|
|
|
