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| Aufgabe | Beschreiben Sie folgende Folgen als Differenzengleichung 1. Ordnung und lösen Sie diese.
[mm] \summe_{k=0}^{n}\pi^k [/mm] |
Frage 1: Wie sieht die Folge überhaupt aus?
[mm] 1,\pi,\pi^2,\pi^3... [/mm] oder [mm] 1,1+\pi,1+\pi+\pi^2?
[/mm]
Frage 2: Wie gehe ich vor?
Folgende Folge konnte schon selbständig gelöst werden: 7,-10, 24,-44,92,...
Es gilt: [mm] y_{t+1}=a*y_{t} [/mm] +s und [mm] y_{t}=b*(a)^t+s/1-a
[/mm]
Also: -10=7a+s und 24=-10a+s, daraus ergibt sich a=-2 und s=4
Dann: [mm] y_{0}=7 [/mm] --> [mm] b*(-2)^0+4/3=7, [/mm] ergibt b=17/3
Lösung: [mm] 17/3*(-2)^t+4/3
[/mm]
Selbst wenn man beide Folgenmöglichkeiten ausprobiert und nach diesem Schema vorgeht, erhält man keine Lösung.
In meinen Aufschrieben ist lediglich der Verweis auf: Durchs Hinschauen erkennt man das Konstruktionsprinzip [mm] y_{t}=\pi*y_{t-1}+1 [/mm] bzw. [mm] y_{t+1}=pi*y_{t}+1.
[/mm]
Das zu lösen ist kein Problem (siehe oben), aber das durchs hinsehen erkennen?! Wieso kann hier nicht nach der obigen Methode verfahren werden?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Do 09.06.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Reihe sieht folgendermaßen aus
[mm] 1+\pi+\pi^2+....
[/mm]
Die Gleichung [mm] y_{k+1}=\pi*y_k+1 [/mm] mit [mm] y_0=0 [/mm] hat folgendes Aussehen
[mm] y_0=0
[/mm]
[mm] y_1=\pi*y_0+1=1
[/mm]
[mm] y_2=\pi*y_1+1=\pi+1
[/mm]
[mm] y_3=\pi*y_2+1=\pi^2+\pi+1 [/mm] etc.
Zur Berechnung siehe bei geometrischer Reihe nach, evtl. hier ![[]](/images/popup.gif) Link-Text
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Ok also die Folgenglieder heißen [mm] 1,1+\pi,1+\pi+\pi^2....
[/mm]
Also: immer [mm] *\pi [/mm] und dann +1.
Aber warum lässt sich, die wenn ich's mal so ausdrücke "s/a-Methode" nicht auf diese Folge anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Fr 10.06.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Gleichung [mm] y_{t+1}=a*y_t+s [/mm] ergibt durch einsetzen ineinander
[mm] y_t=a^ty_0+s\summe_{i=0}^{t-1}a^i=a^ty_0+s\bruch{a^t-1}{a-1}
[/mm]
Aus dem mittleren Ausdruck kanns Du ablesen das gelten muss
[mm] y_0=0
[/mm]
s=1
[mm] a=\pi
[/mm]
also [mm] y_{t+1}=\pi y_{t+1} [/mm] mit [mm] y_0=0 [/mm] und das Ergebnis hast Du auch gleich
[mm] y_t=\bruch{\pi^t-1}{\pi-1}
[/mm]
Die Differenzengleichung stimmt damit auch mit der von mir angegebenen überein.
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