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Hallo!
Ich habe ein Problem beim Lösen einer Differenzengleichung.
[tex]x_{n+1} = 5x_n - 2[/tex]
Ich bin mal so vorgegangen:
Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
[tex]x_{n}^{(h)} = C \prod_{i=0}^{n-1} 5 = C*5^{n}[/tex]
Variation der Konstanten:
[tex]x_{n}^{(p)} = C_n*5^{n}[/tex]
[tex]C_{n+1} * 5^{n+1} = 5 * C_{n} * 5^{n} - 2[/tex]
[tex]C_{n+1} * 5^{n+1} = C_{n} * 5^{n+1} - 2[/tex]
[tex]C_{n+1} = C_{n} - \frac{2}{5^{n+1}}[/tex]
[tex]C_{n} = - \frac{2n}{5^{n+1}}[/tex]
Ergebnis:
[tex]x_{n} = C*5^{n}- \frac{2n}{5^{n+1}} * 5^{n} = C*5^{n}- \frac{2n}{5}[/tex]
Das Ergebnis stimmt aber leider nicht, es müsste vielmehr [tex]x_{n} = C*5^{n} + \frac{1}{2}[/tex] oder so ähnlich lauten - kann mir jemand sagen was ich falsch mache?
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Hallo,
> Hallo!
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> Ich habe ein Problem beim Lösen einer
> Differenzengleichung.
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> [tex]x_{n+1} = 5x_n - 2[/tex]
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> Ich bin mal so vorgegangen:
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> Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
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> [tex]x_{n}^{(h)} = C \prod_{i=0}^{n-1} 5 = C*5^{n}[/tex]
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> Variation der Konstanten:
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> [tex]x_{n}^{(p)} = C_n*5^{n}[/tex]
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> [tex]C_{n+1} * 5^{n+1} = 5 * C_{n} * 5^{n} - 2[/tex]
> [tex]C_{n+1} * 5^{n+1} = C_{n} * 5^{n+1} - 2[/tex]
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> [tex]C_{n+1} = C_{n} - \frac{2}{5^{n+1}}[/tex]
> [tex]C_{n} = - \frac{2n}{5^{n+1}}[/tex]
Das Problem liegt hier.
Das stimmt nicht, weil der Bruch ja auch von n abhängig ist und sich somit für jedes n ändert.
Da steht:
[mm] $C_{n+1} [/mm] = [mm] C_{n}-\frac{2}{5^{n+1}} [/mm] = [mm] C_{n-1} [/mm] - [mm] \frac{2}{5^{n}}-\frac{2}{5^{n+1}} [/mm] = ... = [mm] C_{1} [/mm] - [mm] 2*\sum_{k=2}^{n+1}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}$,
[/mm]
also eine geometrische Reihe.
Grüße,
Stefan
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