Differenz, kart. Produkt < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Ich verstehe folgende Umformung nicht (das unten ist Teil eines Beweises zu einem Satz zu Mengensystemen links halboffener Intervalle im [mm] $\mathbb{R}^d$): [/mm]
Sei [mm] $I=I_1\times I_2$, $J=J_1\times J_2$ [/mm] in [mm] $\mathcal{I}^{d+1}$ [/mm] mit [mm] $I_1, J_1\in \mathcal{I}^d$, $I_2, J_2\in \mathcal{I}^1$. [/mm] Dann gilt
[mm] $I\setminus [/mm] J = [mm] \left((I_1\setminus J_1)\times I_2\right) \cup \left((I_1 \cap J_1)\times (I_2\setminus J_2)\right)$ [/mm]
[mm] $\ldots$
[/mm]
Hierbei ist [mm] $\mathcal{I}^d=\left\{(a,b]:a, b\in\mathbb{R}^d, a_k\leqslant b_k \text{ für alle } 1\leqslant k\leqslant d\right\}$. [/mm] |
Könntet ihr mir vielleicht erklären, wie diese Umformung zustande kommt (nach "Dann gilt")? Meine Kenntnisse zur Mengenlehre beschränken sich nämlich leider auf das, was man wohl standardmäßig in Analysis hört...
Wenn ich mich daran versuche, dann komme ich auf sowas: [mm] $I\setminus [/mm] J = [mm] (I_1\times I_2)\setminus (J_1\times J_2) \overset{?}{=}(I_1\setminus J_1)\times (I_2\setminus J_2)$, [/mm] aber das ist ja wahrscheinlich komplett falsch, oder bringt mir zumindest nichts.
Ich weiß sonst nur noch: [mm] $I_1 \cap J_1 [/mm] = [mm] I_1\setminus (I_1\setminus J_1)$, [/mm] aber ich habe keine Ahnung, wie ich das da anwenden soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Jodocus |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich bin leider kein Genie in Mengenlehre, (daher kann ich dir nicht sagen, wie man auf sowas kommt), aber es ist plausibel. Lass mich es mal für dich auseinander nehmen:
Wir fangen mit der ersten Teilmenge der Vereinigung an:
$ I_1\setminus J_1\times I_2\ $
I und J sind Mengen von 2-Tupeln (x,y). Wenn wir also das cartesiche Produkt von $ I_2 $ und $ I_1\setminus J_1 $ nehmen, kann diese Menge aus 2-Tupeln nicht in J liegen, da keines dieser Tupel x-Elemente aus $ J_1 $ enthält und $ J $ nur solche Tupel besitzt, die X-Elemente in $ J_1 $ UND y-Elemente in $ J_2 $ haben.
Jetzt sind wir aber noch nicht fertig, denn es kann durchaus auch noch x-Elemente in $ J_1 $ (und zwingenderweise auch in $ I_1 $) geben, die zu einem 2-Tupel aus $ I $ gehören, also liegen diese x-Elemente im Schnitt der beiden Mengen $ \left((I_1 \cap J_1) $. Wenn aber die x-Elemente in $ J_1 $ liegen, dann dürfen die y-Elemente nicht in $ J_2 $ liegen, damit das Tupel nicht in $ J $ liegt. Das cartesiche Produkt von $ I_1 \cap J_1 $ mit der Menge $ I_2\setminus J_2 $ gewährleistet, dass die Tupel keine y-Elemente aus $ J_2 $ enthalten, sondern nur aus $ I_2 $. Also ist diese Tupel-Menge ebenfalls nicht in $ J $ enthalten. Diese beiden großen Mengen vereinigt ergeben $ I\setminus J $.
Ich hoffe, ich konnte es halbwegs verständlich rüberbringen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Lustique |
Ja, danke für deine Ausführungen. Ich habe mir das Ganze aufgrund eines Tipps meines Profs auch noch mal für den [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] aufgezeichnet, dann war es klar.
Ich habe dann allerdings auch noch mal versucht, doch noch durch Umformen dahin zu kommen. Mein Lösungsweg ist unten. Könntest du, oder könnte jemand anders das vielleicht kontrollieren?
[mm] $I\setminus [/mm] J = [mm] \left\{ (a, b): (a, b)\in (I_1\times I_2) \wedge (a, b) \notin (J_1 \times J_2) \right\} [/mm] = [mm] \left\{ (a, b): (a, b)\in (I_1\times I_2) \wedge a \in J_1 \wedge b\notin J_2 \right\} \cup \left\{ (a, b): (a, b)\in (I_1\times I_2) \wedge a \notin J_1 \wedge b\in J_2 \right\} \cup \left\{ (a, b): (a, b)\in (I_1\times I_2) \wedge a \notin J_1 \wedge b\notin J_2 \right\} [/mm] = [mm] \left\{ (a, b): (a, b)\in (I_1\setminus J_1) \times I_2 \right\} \cup \left\{ (a, b): (a, b)\in (I_1\cap J_1) \times (I_2\setminus J_2) \right\} [/mm] = [mm] \left((I_1\setminus J_1)\times I_2\right) \cup \left((I_1 \cap J_1)\times (I_2\setminus J_2)\right)$ $\square$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 So 14.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lustique,
> Ja, danke für deine Ausführungen. Ich habe mir das Ganze
> aufgrund eines Tipps meines Profs auch noch mal für den
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm] aufgezeichnet, dann war es klar.
>
> Ich habe dann allerdings auch noch mal versucht, doch noch
> durch Umformen dahin zu kommen. Mein Lösungsweg ist unten.
> Könntest du, oder könnte jemand anders das vielleicht
> kontrollieren?
Paßt!
Aber viel einfacher geht es wohl auch nicht. Manchmal helfen die Distributivgesetze in solchen Fällen weiter:
[mm] $X\times (Y\cap Z)=(X\times [/mm] Y [mm] )\cap( X\times [/mm] Z)$
[mm] $X\times (Y\cup Z)=(X\times [/mm] Y) [mm] \cup (X\times [/mm] Z)$
[mm] $X\times (Y\setminus Z)=(X\times [/mm] Y) [mm] \setminus( X\times [/mm] Z)$
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 21.10.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
>
> > Ja, danke für deine Ausführungen. Ich habe mir das Ganze
> > aufgrund eines Tipps meines Profs auch noch mal für den
> > [mm]\mathbb{R}^2[/mm] aufgezeichnet, dann war es klar.
> >
> > Ich habe dann allerdings auch noch mal versucht, doch noch
> > durch Umformen dahin zu kommen. Mein Lösungsweg ist unten.
> > Könntest du, oder könnte jemand anders das vielleicht
> > kontrollieren?
>
> Paßt!
>
> Aber viel einfacher geht es wohl auch nicht. Manchmal
> helfen die Distributivgesetze in solchen Fällen weiter:
>
> [mm]X\times (Y\cap Z)=(X\times Y )\cap( X\times Z)[/mm]
> [mm]X\times (Y\cup Z)=(X\times Y) \cup (X\times Z)[/mm]
>
> [mm]X\times (Y\setminus Z)=(X\times Y) \setminus( X\times Z)[/mm]
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
>
Danke Wolfgang, ich hatte mit solchen Mengen bis jetzt noch nicht so zu tun, deswegen waren mir die Distributivgesetze für das kartesische Produkt nicht geläufig. Mein größter Fehler war aber am Anfang wahrscheinlich, dass ich mir nicht genau überlegt habe, aus welchen Tupeln die einzelnen Mengen denn wirklich genau bestehen, und da hat dann die Skizze geholfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lustique,
> Ich verstehe folgende Umformung nicht (das unten ist Teil
> eines Beweises zu einem Satz zu Mengensystemen links
> halboffener Intervalle im [mm]\mathbb{R}^d[/mm]):
>
> Sei [mm]I=I_1\times I_2[/mm], [mm]J=J_1\times J_2[/mm] in [mm]\mathcal{I}^{d+1}[/mm]
> mit [mm]I_1, J_1\in \mathcal{I}^d[/mm], [mm]I_2, J_2\in \mathcal{I}^1[/mm].
> Dann gilt
>
> [mm]I\setminus J = \left((I_1\setminus J_1)\times I_2\right) \cup \left((I_1 \cap J_1)\times (I_2\setminus J_2)\right)[/mm]
>
> [mm]\ldots[/mm]
nur mal nebenbei: Hier gibt es ja eigentlich immer zwei Fragen:
1. Wie kann jemand denn einfach solch' eine (auf Dich vielleicht "bekloppt"
wirkende) Gleichung mal einfach so hinschreiben?
Naja, die meisten Leute "veranschaulischen" sich halt irgendwas erstmal
im [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Dann können sie wenigstens versuchen, das zu notieren,
was sie zu sehen glauben - und versuchen, das zu verallgemeinern. Ob
dem wirklich so ist, dafür gibt's den Punkt 2., der kommt jetzt:
2. Wenn man eine solche Mengengleichheit "vorgeworfen" bekommt, wie
kann man sie auf Richtigkeit prüfen? Unsere Anschauung taugt da meist
irgendwann nicht mehr, für genügend großes [mm] $d\,$ [/mm] werden wir sicher
irgendwann Schwierigkeiten haben. Aber dennoch geht das sehr einfach:
Zwei Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] sind ja genau dann gleich, wenn sowohl $A [mm] \subseteq [/mm] B$ als auch $B [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt.
Und was man von Dir eigentlich nur erwartet, wäre, den Punkt 2.
durchzugehen. Zeige also einfach, wenn es Dir nicht klar ist, die
behauptete Mengengleichheit.
Du siehst: Mehr als elementare Mengenlehre, die Du ja laut eigener
Aussage in der Analysis gelernt hast, brauchst Du nicht!
Ich finde es nach wie vor weniger die Kunst, solch' eine Gleichheit
zu beweisen, als vielmehr, überhaupt sie (für die entsprechende Zwecke)
passend zu finden und richtig auszuformulieren!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Wie ich gerade Deiner letzten Frage entnommen habe, hat Dein Prof.
Dir genau den Tipp gegeben, den ich im Punkt 1. beschrieben hatte. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 So 21.10.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
>
> > Ich verstehe folgende Umformung nicht (das unten ist Teil
> > eines Beweises zu einem Satz zu Mengensystemen links
> > halboffener Intervalle im [mm]\mathbb{R}^d[/mm]):
> >
> > Sei [mm]I=I_1\times I_2[/mm], [mm]J=J_1\times J_2[/mm] in [mm]\mathcal{I}^{d+1}[/mm]
> > mit [mm]I_1, J_1\in \mathcal{I}^d[/mm], [mm]I_2, J_2\in \mathcal{I}^1[/mm].
> > Dann gilt
> >
> > [mm]I\setminus J = \left((I_1\setminus J_1)\times I_2\right) \cup \left((I_1 \cap J_1)\times (I_2\setminus J_2)\right)[/mm]
> >
> > [mm]\ldots[/mm]
>
> nur mal nebenbei: Hier gibt es ja eigentlich immer zwei
> Fragen:
> 1. Wie kann jemand denn einfach solch' eine (auf Dich
> vielleicht "bekloppt"
> wirkende) Gleichung mal einfach so hinschreiben?
>
> Naja, die meisten Leute "veranschaulischen" sich halt
> irgendwas erstmal
> im [mm]\IR^2\,.[/mm] Dann können sie wenigstens versuchen, das zu
> notieren,
> was sie zu sehen glauben - und versuchen, das zu
> verallgemeinern. Ob
> dem wirklich so ist, dafür gibt's den Punkt 2., der kommt
> jetzt:
>
> 2. Wenn man eine solche Mengengleichheit "vorgeworfen"
> bekommt, wie
> kann man sie auf Richtigkeit prüfen? Unsere Anschauung
> taugt da meist
> irgendwann nicht mehr, für genügend großes [mm]d\,[/mm] werden
> wir sicher
> irgendwann Schwierigkeiten haben. Aber dennoch geht das
> sehr einfach:
> Zwei Mengen [mm]A,B\,[/mm] sind ja genau dann gleich, wenn sowohl [mm]A \subseteq B[/mm]
> als auch [mm]B \subseteq A[/mm] gilt.
>
> Und was man von Dir eigentlich nur erwartet, wäre, den
> Punkt 2.
> durchzugehen. Zeige also einfach, wenn es Dir nicht klar
> ist, die
> behauptete Mengengleichheit.
>
> Du siehst: Mehr als elementare Mengenlehre, die Du ja laut
> eigener
> Aussage in der Analysis gelernt hast, brauchst Du nicht!
>
> Ich finde es nach wie vor weniger die Kunst, solch' eine
> Gleichheit
> zu beweisen, als vielmehr, überhaupt sie (für die
> entsprechende Zwecke)
> passend zu finden und richtig auszuformulieren!
>
> Gruß,
> Marcel
Danke Marcel, das hat mich auch noch mal etwas beruhigt. :O Und zu der Geschichte mit dem "überhaupt erstmal drauf kommen": da hat mein Analysis-Prof mal irgendwann in einer der ersten Vorlesungen dankenswerterweise was zu gesagt, als es um Stetigkeit und teilweise "abenteuerliche" [mm] "$\varepsilon$"-Konstruktionen [/mm] ging, also dass sowas auch nicht alles vom Himmel fällt. Er hat auch mal erklärt, was Mathematiker eigentlich mit trivial meinen: Nicht "das müsstet ihr sofort ohne Probleme nachvollziehen können", sondern "das folgt direkt aus der Definition/dem Satz/.., also im Grunde ohne viel Mehrarbeit", aber sowas muss einem als Student ja auch erstmal gesagt werden. :D
Kennst du übrigens noch irgendein Buch oder Skript, wo man was zu Mengenlehre findet, was aber nicht allzu sehr in die Tiefe geht (also eher für die "praktische Anwendung"). Ich habe nämlich im Moment ein paar Problem mit Mengensystemen (Maß- und Integrationstheorie: Aufgaben nach dem Motto zeigen Sie [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] etc.). Die gängigen Bücher zu Maß- und Integrationstheorie (Elstrodt, Bauer, ...) sind da ja meisten nicht sonderlich ausführlich sondern eher im Stil von "... wie man leicht einsieht ...", "... ergibt sich unmittelbar ...", " ... ist klar ...", etc.
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