Differentiation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Di 29.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt [mm] x\in\IR [/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung. Ist f' stetig? |
Guten Abend.
Also meine Frage ist, wie kann ich zeigen, dass f in jedem Punkt differenzierbar ist?
Meint man dann dies einfach für [mm] x^{2}sin\bruch{1}{x}?
[/mm]
Und wie mache ich das?
Die Ableitung kann ich ja mit Hilfe des Differentialquotienten
machen.
[mm] x^{2}*sin\bruch{1}{x}
[/mm]
Zuerst den Bruch mit der Quotientenregel, die Sinusfunktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten und danach die Produktregel für das Ganze anwenden oder?
Das wäre dann:
Zuerst von [mm] sin\bruch{1}{x}
[/mm]
u(x)=sin(u); u'(x)=cos(u); [mm] f(u)=\bruch{1}{x}; f'(u)=-\bruch{1}{x^{2}} [/mm]
[mm] f'1(x)=cos\bruch{1}{x}*(-\bruch{1}{x^{}})
[/mm]
Und das Ganze:
[mm] u(x)=x^{2}; [/mm] u'(x)=2x; v(x)= [mm] sin\bruch{1}{x}; v'(x)=cos\bruch{1}{x}*(-\bruch{1}{x})
[/mm]
f'(x)= [mm] x^{2}*cos\bruch{1}{x}*(-\bruch{1}{x^{2}})+x^{2}sin\bruch{1}{x}
[/mm]
Stimmt das überhaupt?
Und wie kann ich zeigen, dass f' stetig ist?
Danke schonmal und viele Grüsse ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Di 29.11.2011 | | Autor: | unibasel |
Kann mir denn niemand helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Di 29.11.2011 | | Autor: | Blech |
Du hast vor gerade mal einer *halben Stunde* Deine Frage (mit 12h Zeitfenster) gestellt, und fängst nur 20m später das quengeln an?
Wie alt bist Du? 5?
> Zuerst den Bruch mit der Quotientenregel, die Sinusfunktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten und danach die Produktregel für das Ganze anwenden oder?
Das funktioniert aber nicht bei 0.
> Die Ableitung kann ich ja mit Hilfe des Differentialquotienten
machen.
Das mußt Du bei 0 tatsächlich.
> Stimmt das überhaupt?
Du hast zum Schluß beim Zusammensetzen einen Fehler gemacht.
> Und wie kann ich zeigen, dass f' stetig ist?
Wie würdest Du allgemein bestimmen, ob eine Funktion stetig ist?
Ist [mm] $x^2\sin(x)$ [/mm] stetig?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 29.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Wie funktioniert denn dies bei 0?
und ist die Aufgabe dann fertig? |
> Du hast vor gerade mal einer *halben Stunde* Deine Frage
> (mit 12h Zeitfenster) gestellt, und fängst nur 20m später
> das quengeln an?
>
> Wie alt bist Du? 5?
Sorry, ja ich bin halt ungeduldig. Tut mir leid.
>
> > Zuerst den Bruch mit der Quotientenregel, die Sinusfunktion
> mit Hilfe der Kettenregel ableiten und danach die
> Produktregel für das Ganze anwenden oder?
>
> Das funktioniert aber nicht bei 0.
Wie funktioniert denn dies bei 0?
> > Die Ableitung kann ich ja mit Hilfe des
> Differentialquotienten
> machen.
>
> Das mußt Du bei 0 tatsächlich.
>
>
> > Stimmt das überhaupt?
>
> Du hast zum Schluß beim Zusammensetzen einen Fehler
> gemacht.
Habe ich gerade bemerkt:
Die Ableitung ist folgende:
[mm] f'(x)=2x*sin\bruch{1}{x}-cos\bruch{1}{x} [/mm]
>
> > Und wie kann ich zeigen, dass f' stetig ist?
>
> Wie würdest Du allgemein bestimmen, ob eine Funktion
> stetig ist?
>
> Ist [mm]x^2\sin(x)[/mm] stetig?
Eine Funktion ist allg. stetig, wenn man sie ohne mit dem Stift abzusetzen zeichnen kann (oder wenn sie einen Grenzwert besitzt).
In diesem Falle ist f'(x) stetig oder?
Wenn ich die Funktion aufzeichne, dann hat sie keine Löcher bzw. ist nicht unterbrochen.
Aber reicht das?
> ciao
> Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Di 29.11.2011 | | Autor: | Blech |
> Wie funktioniert denn dies bei 0?
Mit dem Differentialquotienten.
Wie ist denn der definiert?
> Eine Funktion ist allg. stetig, wenn man sie ohne mit dem Stift abzusetzen zeichnen kann (oder wenn sie einen Grenzwert besitzt).
Otto Forster, Analysis I, Definition 2.1
"Eine Funktion is normalerweise stetig, wenn man sie in einem Stück mit dem Stift zeichnen kann."
Nein, ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr das subtil anders definiert habt...
> Sorry, ja ich bin halt ungeduldig. Tut mir leid.
Dann verwende Deinen Eifer darauf, Dir die Definitionen von "differenzierbar" und "stetig", sowie die Sätze zu den Ableitungsregeln anzuschauen.
Folgt denn aus Deiner Ableitung von [mm] $x^2\sin(x)$ [/mm] schon, daß die Funktion das außerhalb von 0 ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Di 29.11.2011 | | Autor: | unibasel |
> > Wie funktioniert denn dies bei 0?
>
> Mit dem Differentialquotienten.
>
> Wie ist denn der definiert?
Also habe ich auch schon:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(h)-f(0)}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h^{2}sin\bruch{1}{h}}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}sin\bruch{1}{h}=0
[/mm]
oder?
Daraus gilt ja f'(0)=0
> > Eine Funktion ist allg. stetig, wenn man sie ohne mit dem
> Stift abzusetzen zeichnen kann (oder wenn sie einen
> Grenzwert besitzt).
>
> Otto Forster, Analysis I, Definition 2.1
> "Eine Funktion is normalerweise stetig, wenn man sie in
> einem Stück mit dem Stift zeichnen kann."
>
>
> Nein, ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr das subtil
> anders definiert habt...
Otto Forster, Analysis I:
Definition: Sei [mm] f:D\to\IR [/mm] eine Funktion und [mm] a\inD. [/mm] Die Funktion f heisst stetig im Punkt a, falls
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x)=f(a)
f heisst stetig in D, falls f in jedem Punkt von D stetig ist.
Verstehe ich nicht ganz.
Was habe ich hier denn zu zeigen?
> > Sorry, ja ich bin halt ungeduldig. Tut mir leid.
>
> Dann verwende Deinen Eifer darauf, Dir die Definitionen von
> "differenzierbar" und "stetig", sowie die Sätze zu den
> Ableitungsregeln anzuschauen.
Habe ich ja, aber ich finde es ziemlich kompliziert.
> Folgt denn aus Deiner Ableitung von [mm]x^2\sin(x)[/mm] schon, daß
> die Funktion das außerhalb von 0 ist?
Verstehe ich nicht ganz wie es gemeint ist.
>
>
Danke trotzdem für die Mühe.
Würde es eben gerne ganz verstehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 29.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(h)-f(0)}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h^{2}sin\bruch{1}{h}}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}sin\bruch{1}{h}=0 [/mm] $
Ich nehm an, das soll
[mm] $\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h^{2}sin\bruch{1}{h}}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] h [mm] sin\bruch{1}{h}=0$
[/mm]
sein?
> Daraus gilt ja f'(0)=0
Wie ist denn Differenzierbarkeit/die Ableitung definiert? Und ist diese Definition vollständig erfüllt?
Falls ja, dann gilt das tatsächlich.
Bleibt noch die Frage, woher Du weißt, daß die "Ableitung", die Du für [mm] $x\neq [/mm] 0$ mit Produkt- und Kettenregel berechnet hast, tatsächlich die *Ableitung* ist. D.h. daß die Ableitung existiert. =)
Was sagt denn der Satz zur Produktregel genau?
> Was habe ich hier denn zu zeigen?
Entweder: Wähl Dir wild ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] und zeig mir, daß diese Definition für [mm] $x^2\sin\frac [/mm] 1x$ erfüllt ist. Dann machst Du das auch für jedes andere a.
Oder: Sagt Dir die Differenzierbarkeit (sobald wir die gezeigt haben) schon was über die Stetigkeit?
Oder 2.0: Du kramst noch ein bißchen in Deinem Skript und findest dort Sätze, die Dir sagen, daß Produkte und Kompositionen stetiger Funktionen wieder stetig sind. =)
Dann bleibt es nämlich nur noch für a=0 zu zeigen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Di 29.11.2011 | | Autor: | unibasel |
Habe jetzt mittlerweile alles :)
So wie du es mir gesagt hast.
Vielen herzlichen Dank und gute Nacht.
|
|
|
|
