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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Sa 07.07.2007 | | Autor: | kiriS |
| Aufgabe | geg: f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(0)\not=0 [/mm] sei auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar, f'(x) > [mm] \bruch{1}{c} [/mm] für alle x [mm] \in \IR, [/mm] c>0
zz: f besitzt zwischen 0 und -c [mm] \cdot [/mm] f(0) genau eine Nullstelle |
Hallo Zusammen,
den Lösungsweg von den Aufgabe habe ich zwar, aber ich versteh einige Schritte nicht. Also die Lösung vom Prof dazu lautet:
Beweis:
1.Fall: f(0)>0
Hier ist -c [mm] \cdot [/mm] f(0)<0 und wegen der Monotonie von f f(-cf(0))<f(0). Aufgrund der Differenzierbarkeit folgt aus dem Mittelwertsatz und der unteren Schranke für f'
[mm] \bruch{1}{c} [/mm] < [mm] \bruch{f(-cf(0))-f(0)}{-cf(0)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 < [mm] \bruch{f(-cf(0))}{f(0)}+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 > f(-cf(0))
.......
Also die Schritte, dich ich nicht verstehe, sind der erste und zweite [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Könnte mir bitte jemand erklären, wie der Prof darauf kommt
Vielen lieben Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Sa 07.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo kiriS!
> geg: f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(0)\not=0[/mm] sei auf [mm]\IR[/mm]
> differenzierbar, f'(x) > [mm]\bruch{1}{c}[/mm] für alle x [mm]\in \IR,[/mm]
> c>0
>
> zz: f besitzt zwischen 0 und -c [mm]\cdot[/mm] f(0) genau eine
> Nullstelle
> Hallo Zusammen,
>
> den Lösungsweg von den Aufgabe habe ich zwar, aber ich
> versteh einige Schritte nicht. Also die Lösung vom Prof
> dazu lautet:
>
> Beweis:
> 1.Fall: f(0)>0
> Hier ist -c [mm]\cdot[/mm] f(0)<0 und wegen der Monotonie von f
> f(-cf(0))<f(0). Aufgrund der Differenzierbarkeit folgt aus
> dem Mittelwertsatz und der unteren Schranke für f'
>
> [mm]\bruch{1}{c}[/mm] < [mm]\bruch{f(-cf(0))-f(0)}{-cf(0)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 < [mm]\bruch{f(-cf(0))}{f(0)}+1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 > f(-cf(0))Weil [mm]c>0[/mm] ändert sich die Ungleichung nicht:
>
> .......
>
>
> Also die Schritte, dich ich nicht verstehe, sind der erste
> und zweite [mm]"\Rightarrow"[/mm]
Vermutlich, weil in der zweiten Zeile ein Minuszeichen fehlt. Die Gleichung
[mm]\bruch{1}{c}[/mm] < [mm]\bruch{f(-cf(0))-f(0)}{-cf(0)}[/mm]
wird mit [mm]c[/mm] malgenommen.
[mm]1[/mm] < [mm]\bruch{f(-cf(0))-f(0)}{-f(0)}[/mm]
Dann wird die rechte Seite in zwei Teile zerlegt:
[mm]1 < -\bruch{f(-cf(0))}{f(0)}+1[/mm]
Danach nur noch 1 abziehen und mit [mm]-f(0)[/mm] malnehmen.
Grüße
Rainer
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