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Differentialrechnung: Differentialrechnung y=x^3+3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Do 29.09.2005
Autor: HoloDoc

Hallo zusammen!

Ich habe gerade erst angefangen mir Differentialrechnung selbst beizubringen. Ich benutze Elemente der Mathematik 11 dazu.Ich habe nun ne Fräge zur Aufgabe S.153 Nr. 5a:
Bei der Funktion: [mm] y=x^3+3 [/mm]
P(a/y)
Todo: Steigung in diesem Punkt bestimmen.

Mein bisheriges Ergebnis:
[mm] m=((x^3+3)-a^3)/(x-a)=x^2+ax+a^2+3/(x-a) [/mm]

[mm] m=lim(x^2+ax+a^2+3/(x-a)) [/mm]  
x->a

[mm] =a^2+a*a+a^2+3/(a-a) [/mm]  //NICHT DEFINIERT: DIVISION DURCH NULL

Wo liegt mein Fehler?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Do 29.09.2005
Autor: Julius

Hallo HoloDoc!

> Ich habe gerade erst angefangen mir Differentialrechnung
> selbst beizubringen. Ich benutze Elemente der Mathematik 11
> dazu.

Gut. :-)

> Ich habe nun ne Fräge zur Aufgabe S.153 Nr. 5a:
>  Bei der Funktion: [mm]y=x^3+3[/mm]
>  P(a/y)
>  Todo: Steigung in diesem Punkt bestimmen.

> Mein bisheriges Ergebnis:
>   [mm]m=((x^3+3)-a^3)/(x-a)=x^2+ax+a^2+3/(x-a)[/mm]

Halt! Hier muss es heißen

$m = [mm] \red{\lim\limits_{x \to a}} \frac{(x^3+3)-(a^3 \red{+3})}{x-a} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to a} \frac{x^3-a^3}{x-a}$. [/mm]

Aber auch hier wirst du feststellen, dass eine Division "0:0" vorliegt.

Du kannst diese aber mit Hilfe einer MBPolynomdivision auflösen:

[mm] $(x^3-a^3):(x-a)=x^2+xa+a^2$ [/mm]
[mm] $-(x^3-x^2a)$ [/mm]
-------
[mm] $x^2a-a^3$ [/mm]
$-(x^2a - [mm] xa^2)$ [/mm]
-------
[mm] $xa^2-a^3$ [/mm]
[mm] $-(xa^2-a^3)$ [/mm]
------
$0$

Jetzt hast du:

$m = [mm] \lim\limits_{x \to a} \frac{x^3-a^3}{x-a} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to a} (x^2+xa+a^2) [/mm] = [mm] a^2+a^2+a^2=3a^2$. [/mm]

Liebe Grüße
Julius

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