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Hallo liebe Leute
Wie lös ich folgende Aufgabe:
y(t)=250+x(t), wobei x=x(t)
x'=0.34x(1-x/230), x(0)=25
Aufgabe: Bestimmen Sie einen Ausdruck für y(t).
Die Lösung sollte [mm] y(t)=250+\bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}} [/mm] lauten.
Vielen Dank schonma.
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Hallo blackkilla,
> Hallo liebe Leute
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> Wie lös ich folgende Aufgabe:
>
> y(t)=250+x(t), wobei x=x(t)
>
> x'=0.34x(1-x/230), x(0)=25
>
> Aufgabe: Bestimmen Sie einen Ausdruck für y(t).
>
> Die Lösung sollte [mm]y(t)=250+\bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}}[/mm]
> lauten.
Löse zunächst die DGL [mm]x'=0.34x(1-x/230)[/mm].
Setze dieses x(t) dann in y(t)=250+x(t) ein.
>
> Vielen Dank schonma.
Gruss
MathePower
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Wie mach ich das? Und was kann mit dem x(0)=25 anfangen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackkilla!
> Wie mach ich das?
Wende die Trennung der Variablen an.
> Und was kann mit dem x(0)=25 anfangen?
Damit bestimmst Du die entstehende Integrationskonstante.
Gruß
Loddar
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Meinst du das etwa so?
[mm] \integral{\bruch{dx}{1-x/230}}=\integral{0.34 dx}
[/mm]
Beim linken Integral muss man ja mit Substitution arbeiten?!: u=1-x/230
[mm] u'=\bruch{-1}{230}. [/mm] Dann siehts so aus: [mm] \bruch{-1}{230}\integral{u^{-1}dx} [/mm] oder??
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> Meinst du das etwa so?
>
> [mm]\integral{\bruch{dx}{1-x/230}}=\integral{0.34 dx}[/mm]
>
rechts muss es dt heissen und links fehlt n x im nenner
also das wieder hin, danach PBZ
>
> Beim linken Integral muss man ja mit Substitution
> arbeiten?!: u=1-x/230
>
> [mm]u'=\bruch{-1}{230}.[/mm] Dann siehts so aus:
> [mm]\bruch{-1}{230}\integral{u^{-1}dx}[/mm] oder??
gruß tee
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Warum fehlt links ein x? Ich hab rechts ein x vergessen sollte ja 0.34x heissen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du was Trennung der Variablen bedeutet?
auf einer Seite nur f(x) und dx auf der anderen nur f(t) und dt
Gruss leduart
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Eben das hab ich ja gemacht....
[mm] \bruch{dx}{dt}=0.34x(1-x/230)
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{dx}{(1-x/320)}=\integral{0.34x dt}}
[/mm]
Was ist daran falsch?
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> Eben das hab ich ja gemacht....
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}=0.34x(1-x/230)[/mm]
> [mm]\integral{\bruch{dx}{(1-x/320)}=\integral{0.34x dt}}[/mm]
>
>
> Was ist daran falsch?
das ist doch offensichtlich.
rechts steht 0.34*x*(1-x/230)
damit das nach links kommt, teile ich durch x*(1-x/230)
bei dir ist das x vor der klammer weg, und aus 230 werden 320.
und wie schon oft gesagt, heisst das verfahren nicht umsonst TRENNUNG DER VARIABLEN, wenn man am ende dann doch nen mix daraus macht?!
also zum letzten mal konkret: ALLES mit X auf die linke seite, ALLES ANDERE,was nichts mit X zu tun hat, nach rechts
gruß tee
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Ja da hab ich mich vertippt mit 320.
Also folgendermassen:
[mm] \integral{\bruch{dx}{x(1-x/230)}}=\integral{0.34dt} [/mm] ¨
Und hier beim linken Integral PBZ anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Und hier beim linken Integral PBZ anwenden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Gruß
Loddar
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Also zuerst muss ich ma sagen, dass wir PBZ nie hatten, doch hab mich im Internet mal schlau gemacht. Nun wär ich froh, wenn ihr ma schauen könntet, ob ich da so richtig mache?
Also 230 und 0 sind die 2 Nullstellen.
[mm] \bruch{1}{x(1-x/230)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}
[/mm]
Wie weiter?
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Hallo blackkilla,
> Also zuerst muss ich ma sagen, dass wir PBZ nie hatten,
> doch hab mich im Internet mal schlau gemacht. Nun wär ich
> froh, wenn ihr ma schauen könntet, ob ich da so richtig
> mache?
>
> Also 230 und 0 sind die 2 Nullstellen.
Ja.
> [mm]\bruch{1}{x(1-x/230)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}[/mm]
>
> Wie weiter?
Alles auf einen Hauptnenner bringen, mit dem multiplizieren, dann Koeffizientenvergleich.
Nach den ersten beiden Schritten steht da
$ [mm] \blue{230}=A(x-230)+Bx [/mm] $
Da links x gar nicht vorkommt, muss $ A+B=0 $ sein.
Außerdem ist $ [mm] \blue{230}=-230A [/mm] $.
edit: die blauen Zahlen waren in der ersten Fassung falsch. Jetzt stimmts aber. Danke an fencheltee für den Hinweis.
Also?
Grüße
reverend
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Ok dann ist [mm] A=-\bruch{1}{230} [/mm] und [mm] B=\bruch{1}{230}
[/mm]
Nun hab ich die linke Seite integriert und erhalte:
[mm] -\bruch{1}{230}lnx+\bruch{1}{230}ln(x-230)+C
[/mm]
Korrekt? Und die rechte Seite gibt ja 0.34x+C
Wie lös ich das ganze nun auf x auf?
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> Ok dann ist [mm]A=-\bruch{1}{230}[/mm] und [mm]B=\bruch{1}{230}[/mm]
>
> Nun hab ich die linke Seite integriert und erhalte:
>
> [mm]-\bruch{1}{230}lnx+\bruch{1}{230}ln(x-230)+C[/mm]
im hinblick auf den kleinen fehler oben ergibt sich links nun
ln(x)-ln(x-230)+c
das c bringt man auf die andere seite, und da wird aus [mm] C_1+C_2=C
[/mm]
somit haben wir dann
[mm] ln(x)-ln(x-230)=0.34\red{t}
[/mm]
die logarithmen nun zusammenfassen und die e-funktion anwenden
>
> Korrekt? Und die rechte Seite gibt ja 0.34x+C
>
> Wie lös ich das ganze nun auf x auf?
gruß tee
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Warum gibt es auf der linken Seite nicht 1?
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Hallo blackkilla,
> Warum gibt es auf der linken Seite nicht 1?
Weil der Ausdruck [mm]\bruch{1}{x(1-x/230)}[/mm]
auf die Form [mm]\bruch{\alpha}{x*\left(x-230\right)}[/mm] gebracht werden muß,
um mit [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}[/mm] verglichen werden zu können.
Gruss
MathePower
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Und wie bring ich es auf diese Form und wofür steht [mm] \alpha?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 19.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit 230 erweitern! dann steht was im zähler was jemand mit [mm] \alpha [/mm] bezeichnet hat.
Gruss leduart
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Ok ich hab [mm] \bruch{1}{x(1-x/230} [/mm] mit 230 erweitert.
Und es gibt bei mir [mm] \bruch{230}{230x(1-x/230}
[/mm]
[mm] \bruch{230}{230x-\bruch{230x^2}{230}}
[/mm]
[mm] \bruch{230}{230x-x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{230}{x(230-x)} [/mm] und nicht [mm] \bruch{230}{x(x-230}
[/mm]
Und warum schreibst du [mm] \alpha [/mm] statt 230?
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> Ok ich hab [mm]\bruch{1}{x(1-x/230}[/mm] mit 230 erweitert.
>
> Und es gibt bei mir [mm]\bruch{230}{230x(1-x/230}[/mm]
>
> [mm]\bruch{230}{230x-\bruch{230x^2}{230}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{230}{230x-x^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{230}{x(230-x)}[/mm] und nicht [mm]\bruch{230}{x(x-230}[/mm]
>
bei einem fehlt nur ein - im zähler
> Und warum schreibst du [mm]\alpha[/mm] statt 230?
damit dir nicht alles vorgekaut wird 
gruß tee
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Hätt ich mit -230 erweitern sollen?
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Hallo blackkilla,
> Hätt ich mit -230 erweitern sollen?
Das kannst du halten wie ein Dachdecker.
Es bleibt einerlei ...
Gruß
schachuzipus
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> Was jetzt?
ich würde vorschlagen, dass du die pbz vielleicht nochmal komplett vorrechnest. denn all diese unnötigen teilfragen vernebeln doch irgendwo den durchblick
gruß tee
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Ok wir haben
[mm] \bruch{1}{x(1-\bruch{x}{230})}
[/mm]
Die Nullstellen sind 0 und 230
Dadurch ergibt sich:
[mm] \bruch{1}{x(1-\bruch{x}{230})}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}
[/mm]
Nun ergänze ich links mit -230.
[mm] \bruch{-230}{x(x-230)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}
[/mm]
Beide Seiten nun mit x(x-230) mal rechnen, damit die Nenner verschwinden
-230=A(x-230)+Bx
-230=Ax-230A+Bx
-230=(A+B)x-230A
Dadurch ergibt sich:
1=A
-1=B
Das eingesetzt und integriert ergibt es:
ln(x)-ln(x-230)=0.34t+C
[mm] ln(\bruch{x}{x-230}=0.34t+C
[/mm]
ln mit e zum verschwinden bringen:
[mm] \bruch{x}{x-230}=e^{0.34t}+C
[/mm]
Nun wie weiter das ich auf [mm] y(t)=250+\bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}} [/mm] komme?
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> Ok wir haben
>
> [mm]\bruch{1}{x(1-\bruch{x}{230})}[/mm]
>
> Die Nullstellen sind 0 und 230
>
> Dadurch ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{1}{x(1-\bruch{x}{230})}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}[/mm]
>
> Nun ergänze ich links mit -230.
>
> [mm]\bruch{-230}{x(x-230)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}[/mm]
>
> Beide Seiten nun mit x(x-230) mal rechnen, damit die Nenner
> verschwinden
>
> -230=A(x-230)+Bx
> -230=Ax-230A+Bx
> -230=(A+B)x-230A
>
> Dadurch ergibt sich:
>
> 1=A
> -1=B
>
> Das eingesetzt und integriert ergibt es:
>
> ln(x)-ln(x-230)=0.34t+C
> [mm]ln(\bruch{x}{x-230}=0.34t+C[/mm]
>
> ln mit e zum verschwinden bringen:
>
> [mm]\bruch{x}{x-230}=e^{0.34t}+C[/mm]
wir hatten doch schonmal herausgefunden, dass aus [mm] e^{a+m}=e^a*e^m [/mm] und nicht [mm] e^a+e^m [/mm] wird
>
> Nun wie weiter das ich auf
> [mm]y(t)=250+\bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}}[/mm] komme?
dann nach x auflösen (evtl vorher kehrwert bilden)
>
>
gruß tee
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Ok sorry. Dann ist es so:
[mm] \bruch{x}{x-230}=e^{0.34t}e^{C}
[/mm]
Wobei [mm] e^{C}=C [/mm] oder?
Nun warum Kehrwert bilden und wo? Und wie erhalt ich dieses 8.2?
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> Ok sorry. Dann ist es so:
>
> [mm]\bruch{x}{x-230}=e^{0.34t}e^{C}[/mm]
>
> Wobei [mm]e^{C}=C[/mm] oder?
jo
>
> Nun warum Kehrwert bilden und wo? Und wie erhalt ich dieses
> 8.2?
die 8.2 erhälst du für C aus der anfangsbedingung x(0)=25
kehrwert hab ich dir nur als tipp gegeben, damit nach dem kürzen nur noch 1 x da ist. gibt aber genügend andere elementare wege
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C krieg ich irgendwie nicht raus...
Bei [mm] \bruch{x}{x-230}=Ce^{0.34t}
[/mm]
Nun hab ich rechts gekürzt und bin auf folgendes gekommen:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{230}{x}}=Ce^{0.34t}
[/mm]
Wie mach ich das ich nur noch x habe auf der linken Seite?
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> C krieg ich irgendwie nicht raus...
>
> Bei [mm]\bruch{x}{x-230}=Ce^{0.34t}[/mm]
>
> Nun hab ich rechts gekürzt und bin auf folgendes
> gekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{230}{x}}=Ce^{0.34t}[/mm]
>
> Wie mach ich das ich nur noch x habe auf der linken Seite?
das c bestimmt man erst, nachdem man nach x aufgelöst hat, und das solltest du selber hinkriegen
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Was sollte ich zuerst tun? Mal (1-230/x) rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sag deinen vielen helfern mal was nettes zwischendrin und probier auch mal was selbst. man kann auch mal ne halbe stunde selbst rumprobieren!
$ [mm] \bruch{x}{x-230}=Ce^{0.34t} [/mm] $
immer in so ner gleichung mit dem nenner mult. dann alles x auf eine Seite, dann x ausklammern ! und dann x=
gruss leduart
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Tut mir leid, wenn ich irgendwie undankbar rüberkomme. Was widerspiegelt keinesfalls was ich denke. Wenn ihr nicht so hilfreich wärt, würd ich mich nicht immer wieder hier melden! :)
Also hab jetzt den Nenner mal rüber genommen:
[mm] x=C(x-230)e^{0.34t}
[/mm]
Wird der Nenner nun von C verschlungen? Denn sonst hätte ich auf beiden Seiten eine x welche sich gegenseitig aufheben und x verschwinden würde...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 20.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt löst du die Klammer auf, bringst alles in dem x steht auf eine Seite, klammerst x aus. dann hast du x*(....)=.... jetzt dividierst du durch (....) dann hast du x.
aber eigentlich kannst du doch ax=bx+c wohl nach x auflösen. du tust zuwenig selbst und lässt dir wirklich jeden Schritt vorkauen. probier wirklich mal rum, bevor du fragst! ne klammer auflösen gehört dazu!
Gruss leduart
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[mm] x=Cxe^{0.34t}-230Ce^{0.34t}
[/mm]
[mm] x-Cxe^{0.34t}=-230Ce^{0.34t}
[/mm]
[mm] x(1-Ce^{0.34t}=-230Ce^{0.34t}
[/mm]
[mm] x=\bruch{-230Ce^{0.34t}}{1-Ce^{0.34t}}
[/mm]
Richtig? Oder verschlingt C das -230?
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Hallo blackkilla,
> [mm]x=Cxe^{0.34t}-230Ce^{0.34t}[/mm]
> [mm]x-Cxe^{0.34t}=-230Ce^{0.34t}[/mm]
> [mm]x(1-Ce^{0.34t}=-230Ce^{0.34t}[/mm]
> [mm]x=\bruch{-230Ce^{0.34t}}{1-Ce^{0.34t}}[/mm]
>
> Richtig? Oder verschlingt C das -230?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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Und wie bestimmt ich mit x(0)=25 das C?
t=0
x=25
in [mm] x=\bruch{-230Ce^{0.34t}}{1-Ce^{0.34t}} [/mm] einsetzen? Da krieg ich nur
-0.12 für C.
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Hallo blackkilla,
> Und wie bestimmt ich mit x(0)=25 das C?
>
> t=0
> x=25
>
> in [mm]x=\bruch{-230Ce^{0.34t}}{1-Ce^{0.34t}}[/mm] einsetzen? Da
> krieg ich nur
> -0.12 für C.
Es ist richtig, daß [mm] C \approx -0.12[/mm]
Der genaue Wert für C ergibt sich zu [mm]C=-\bruch{5}{41}[/mm]
Setzt für C den genauen Wert ein.
Gruss
MathePower
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Und wie komm ich auf [mm] \bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}}? [/mm] Irgendwie wurde da -1 ausgeklammert, aber plötzlich ist da für C ein 8.2 und statt [mm] e^{0.34t} [/mm] steht [mm] e^{-0.34t}
[/mm]
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Hallo,
> Und wie komm ich auf [mm]\bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}}?[/mm]
Wenn du in dem obigen Ausdruck für $x(t)$ dann $t=0$ einsetzt, steht doch da:
[mm] $25=x(0)=\frac{-230C}{1-C}$
[/mm]
[mm] $e^0$ [/mm] ist doch 1 ...
Das nur nach $C$ auflösen ...
> Irgendwie wurde da -1 ausgeklammert, aber plötzlich ist da
> für C ein 8.2 und statt [mm]e^{0.34t}[/mm] steht [mm]e^{-0.34t}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hab ich ja gemacht und krieg -5/41 für C.. :)
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Warum wird -5/41 zu 41/5?
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Hallo blackkilla,
> Warum wird -5/41 zu 41/5?
Offenbar durch entsprechendes umformen.
Gruss
MathePower
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Es wurde doch nicht einfach eine -1 ausgeklammert? Denn mir ist aufgefallen, dass die Vorzeichen sich ÜBERALL verändert haben. Selbst beim exp-Funktion [mm] e^{0.34t} [/mm] zu [mm] e^{-0.34t}...
[/mm]
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> Es wurde doch nicht einfach eine -1 ausgeklammert? Denn mir
> ist aufgefallen, dass die Vorzeichen sich ÜBERALL
> verändert haben. Selbst beim exp-Funktion [mm]e^{0.34t}[/mm] zu
> [mm]e^{-0.34t}...[/mm]
Hallo,
es geht darum, wie Du von $ [mm] x(t)=\bruch{-230Ce^{0.34t}}{1-Ce^{0.34t}} [/mm] $ mit [mm] C=-\bruch{5}{41} [/mm] auf
x(t)=$ [mm] \bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}} [/mm] $ kommst?
(Sowas könntest Du ruhig mal zusammenhängend formulieren. Es ist für Helfer mühsam, sowas aus 3.50m Fragefetzen zusammenzuklauben.)
Vielleicht fällt Dir ja auf, daß Du im ersten Ausdruck im Zähler [mm] e^{0.34t} [/mm] hast, im zweiten nicht mehr.
Idee: erweitern mit [mm] e^{-0.34t}.
[/mm]
Wenn Du das, was Du nun hast (was denn eigentlich?) mit dem gewünschten Ausdruck vergleichst, dann siehst Du, daß Du im Zähler den Faktor -C zuviel hast.
Lösung: erweitern mit [mm] -\bruch{1}{C}.
[/mm]
Was steht jetzt da?
Rückfragen bitte mit einer zusammenhängenden Darstellung Deines Tuns.
Etwa so in dem Stile:
"Ich habe .... und ich möchte dies umformen zu ...
Erweitern mit ... ergibt.
Nun habe ich versucht ..., jedoch ..."
Es macht vielleicht etwas Mühe, schafft aber Klarheit, nicht zuletzt auch bei Dir.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Mi 22.12.2010 | | Autor: | blackkilla |
Es tut mir leid! Ich verspreche, dass ich in Zukunft meine Fragen klarer und übersichtlicher gestalte, nicht so dass man immer alles vorher durchlesen muss.
Ok Rückfragen hab ich keine mehr! Denn bin jetzt auf die Lösung gekommen.
[mm] \bruch{-230Ce^{0.34t}}{1-Ce^{0.34t}} [/mm] mit [mm] e^{-0.34t} [/mm] erweitert ergibt
[mm] \bruch{-230C}{e^{-0.34t}-C} [/mm] und das mit [mm] -\bruch{1}{C} [/mm] erweitert ergibt dann die Lösung von meinem Buch:
[mm] \bruch{230}{1+8.2e^{-0.34t}}
[/mm]
Vielen Dank an alle! Nochmals sorry für dieses Wirrwarr. Mein Neujahrsvorsatz ist gewählt! :)
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> Hallo blackkilla,
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> > Also zuerst muss ich ma sagen, dass wir PBZ nie hatten,
> > doch hab mich im Internet mal schlau gemacht. Nun wär ich
> > froh, wenn ihr ma schauen könntet, ob ich da so richtig
> > mache?
> >
> > Also 230 und 0 sind die 2 Nullstellen.
>
> Ja.
>
> > [mm]\bruch{1}{x(1-x/230)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-230}[/mm]
> >
> > Wie weiter?
>
> Alles auf einen Hauptnenner bringen, mit dem
> multiplizieren, dann Koeffizientenvergleich.
>
> Nach den ersten beiden Schritten steht da
>
> [mm]1=A(x-230)+Bx[/mm]
hallo,
hier steht links -230, nicht 1
>
> Da links x gar nicht vorkommt, muss [mm]A+B=0[/mm] sein.
> Außerdem ist [mm]1=-230A [/mm].
>
> Also?
>
> Grüße
> reverend
>
gruß tee
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:28 So 19.12.2010 | | Autor: | reverend |
N'Abend!
So im Durchflug hier sehe ich eine Korrekturmitteilung.
Und dann auch noch eine völlig berechtigte...
Danke für den Hinweis!
Grüße
reverend
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