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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] |z|^2 [/mm] nicht differenzierbar (ohne Cauchy-Rieamannsche Differentialgleichungen)
ist. |
Hallo,
Da ich nicht die Cauchy DGL benutzen darf dachte ich daran den Grenzwert des Differentialquotienten zu bilden.
[mm] \limes_{z\rightarrow\z0} \bruch{z^2 - z_0^2}{z-z_0}
[/mm]
Den Betrag habe ich weggelassen, da hier sowieso ein quadrat steht.
Da ich nun [mm] \bruch{0}{0} [/mm] herausbekäme muss ich L'ospital anwenden und komme auf
[mm] \limes_{z\rightarrow\z0} \bruch{2*z - z_0^2}{1-z_0}
[/mm]
Daraus folgt aber [mm] \bruch{z_0*(z_0-2)}{z_0-1} [/mm] D.h. es existiert ein Grenzwert für alle [mm] z_0 \not= [/mm] 1.
Wenn ein Grenzwert existiert ist die Funktion differenzierbar.
Laut Angabe soll aber genau das Gegenteil der Fall sein.
Bitte um Hilfe
mfg
Double
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Sa 05.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass [mm]|z|^2[/mm] nicht differenzierbar (ohne
> Cauchy-Rieamannsche Differentialgleichungen)
> ist.
> Hallo,
> Da ich nicht die Cauchy DGL benutzen darf dachte ich daran
> den Grenzwert des Differentialquotienten zu bilden.
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow\z0} \bruch{z^2 - z_0^2}{z-z_0}[/mm]
>
> Den Betrag habe ich weggelassen, da hier sowieso ein
> quadrat steht.
ich nehmen mal an, dass [mm] $z\in\mathbb{C}$ [/mm] und im Komplexen gilt allgemein [mm] $|z|^2\neq z^2$
[/mm]
> Da ich nun [mm]\bruch{0}{0}[/mm] herausbekäme muss ich L'ospital
> anwenden und komme auf
> [mm]\limes_{z\rightarrow\z0} \bruch{2*z - z_0^2}{1-z_0}[/mm]
>
> Daraus folgt aber [mm]\bruch{z_0*(z_0-2)}{z_0-1}[/mm] D.h. es
> existiert ein Grenzwert für alle [mm]z_0 \not=[/mm] 1.
>
> Wenn ein Grenzwert existiert ist die Funktion
> differenzierbar.
> Laut Angabe soll aber genau das Gegenteil der Fall sein.
> Bitte um Hilfe
>
> mfg
> Double
>
Gruß,
notinX
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Da hast du natürlich Recht!
Dann sage ich das z komplex ist. somit ist [mm] |z|^2=z*\overline{z}
[/mm]
wobei [mm] \overline{z} [/mm] konjugiert komplex ist.
Nehme ich nun den ersten limes würde ich durch 0 dividieren
da [mm] z-z_0 [/mm] im Nenner steht. Ich wende wieder L'ospital an und komme auf:
[mm] \limes_{z\rightarrow\ z 0}\bruch{\overline{z}-z_0*\overline{z_0}}{1-z_0}
[/mm]
irgendwie kommt mir das spanisch vor ;) bitte um Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. warum sollte der GW denn 0 sein, das ist er auch nicht für das differenzierbare [mm] f(z)=z^2 [/mm] der differentialquotient muss nen GW genannt f'(z) haben .
2. du kannst doch L´Hopital nicht anwenden, wenn du nicht weisst, ob die fkt differenzierbar ist?
nimm mal (f(z+h)-f(z))/h a) h=r*i r reell und h=r und h= [mm] r(cos\phi+isin˜phi) [/mm] r gegen 0
gruss leduart
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