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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 So 21.11.2004 | | Autor: | Sandra |
Hallo!
Habe Probleme ein inhomogenes Differentialgleichungssystem zu lösen bzw. die allgemeine Lösung zu finden:
y'_1= [mm] 2*y_1 [/mm] + e^(3t)
y'_2= [mm] -y_1 [/mm] + 2* [mm] y_2+ [/mm] e^(t)
"_i" soll Index bedeuten 
Vielen Dank im voraus.
Sandra
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So'n paar eigene Ideen wären in diesem Fall auch nicht schlecht.
Aber hier so'n paar Eckpfeiler, nach denen du dich bei der Lösung richten kannst:
Also erstmal lösen wir das zugehörige homogene System, d.h. die ganzen [mm]e^{sonstwas}[/mm]-Störterme lassen wir weg, und schreiben das DGL-System um als: [mm]y'=A*y[/mm] , wobei A die Matrix der Koeffizienten der [mm]y_i[/mm] bezeichnet - probier's einfach mal aus, diese Matrix aufzustellen, und multiplizier sie dann mit dem Vektor y aus (also mit [mm] y=\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm] - damit sollte sich genau das ursprüngliche DGL-System ergeben).
Dann geht's weiter: für die homogene Lösung (also ein sog. "Fundamentalsystem" des DGL-Systems) brauchst du von der Matrix A die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Wenn du soweit bist, kannst dich ja nochmal mit deinen Zwischenlösungen (und am besten auch den Lösungsschritten) melden, dann schau'n mer weiter.
Ach ja, vielleicht ist dir der Satz mal untergekommen: "Man erhält die Lösung einer inhomogenen DGL, indem man die allg. Lösung der zugehörigen homogenen DGL zu einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL addiert."
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 21.11.2004 | | Autor: | Sandra |
nur homogene Gleichung betrachtet:
A= [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ -1 & 2 }
[/mm]
Hat Eigenwert 2.
Und somit Eigenvektor: [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
spezielle Lösung: y= [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] *c * [mm] e^{2t}
[/mm]
Und nun weiß ich nicht genau, wie ich den inhomogenen Teil einbringen kann.
Die Aufgabe ist ein Beispiel aus unserer Übung, allerdings haben wir die Lösung nicht auf diese Art berechnet.
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Hallo Sandra,
Wenn du das homogene System vollständig lösen willst brauchst du noch eine 2. lin. unabhängige Lösung. Da der Eigenwert 2 die algebraische Vielfachheit 2 hat aber die geometrische Vielfachheit 1 erhält man diese aus dem Ansatz Vektorpolynom mal e funktion also im Bsp.:
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2}= \vektor{a + bt \\ c + dt}*e^{2t}
[/mm]
[mm] \vektor{y_1' \\ y_2'}= \vektor{2a + 2bt + b\\ 2c + 2dt + d}*e^{2t}=A*e^{2t}
[/mm]
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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