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Hallo,
also ich habe die aufgabenstellung:
y' = [mm] \pmat{ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] y
ich bin dabei jetzt über den eigenwert ansatz gegangen:
|A - [mm] \lambda [/mm] E| = 0 dabei bekomme ich für [mm] \lambda [/mm] = 2 eine dreifache Nullstelle. Für |A-2E|c=0 bekomme ich die Lösung [mm] c=\vektor{x1 \\ x2 \\x1}
[/mm]
Nach meinem verständnis wäre diese Lösung doch jetzt 2 dimensional oder? und dann habe ich die vertreter:
y1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\1}*exp(2*x)
[/mm]
y2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0}*exp(2*x) [/mm] oder nicht?
Also mein erstes Problem ist ob die Lösung bis dahin stimmt oder nicht und mein zweites Problem ist das jetzt ja noch eine Lösung fehlt. Dafür bin ich über den Ansatz [mm] \vektor{ax+b \\ cx+d \\ex+f} [/mm] gegangen.
Dies führt zu:
[mm] \vektor{2ax +a+2b \\ 2cx+2d+c \\2ex+2f+e}*exp(2x) [/mm] = [mm] \vektor{(3a-e)x+3b-f \\ 2cx+2d \\ (a+e)x+b+f)}
[/mm]
glaube ich zumindest sicher bin ich mir da auch schon leider nicht mehr also wäre ich sehr dankbar wenn mir das jemand sagen könnte und wenn das so stimmt wie muß ich dann weiterrechnen? ich dachte es läuft dann auf einen koeffizientenvergleich raus aber das funktioniert nicht wirklich und was ist dann mein ergebnis für y3?
Vielen dank an alle die mir damit helfen können und sich die mühe machen
sternschnuppe
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Hallo sternschnuppe,
> y' = [mm]\pmat{ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm] y
> ich bin dabei jetzt über den eigenwert ansatz gegangen:
> |A - [mm]\lambda[/mm] E| = 0 dabei bekomme ich für [mm]\lambda[/mm] = 2
> eine dreifache Nullstelle. Für |A-2E|c=0 bekomme ich die
> Lösung [mm]c=\vektor{x1 \\ x2 \\x1}[/mm]
das ist richtig.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nach meinem verständnis
> wäre diese Lösung doch jetzt 2 dimensional oder? und dann
> habe ich die vertreter:
Du bekommst zwei Eigenvektoren. Demzufolge muß es noch einen Eigenvektor zweiter Stufe geben Den bekommst Du wie folgt:
[mm]\[
\begin{gathered}
\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)^2 \;e_2 \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_2 \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {A\; - \;\lambda \;I} \right)\;e_2 \; = \;e_1 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hast Du alle Eigenvektoren bestimmt, so erhältst Du mit der Transformation [mm]y\; = \;C\;z[/mm] eine einfacher zu lösendes DGL-System:
[mm]z'\; = \;\left( {C^{ - 1} \;A\;C} \right)\;z[/mm]
> y1= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\1}*exp(2*x)[/mm].
> y2= [mm]\vektor{0 \\ 1 \\0}*exp(2*x)[/mm]
> oder nicht?
Das sind höchstens Lösungen des obigen Systems. Das sind aber nicht alle Lösungen.
> Also mein erstes Problem ist ob die Lösung bis dahin
> stimmt oder nicht und mein zweites Problem ist das jetzt ja
> noch eine Lösung fehlt. Dafür bin ich über den Ansatz
> [mm]\vektor{ax+b \\ cx+d \\ex+f}[/mm] gegangen.
> Dies führt zu:
> [mm]\vektor{2ax +a+2b \\ 2cx+2d+c \\2ex+2f+e}*exp(2x)[/mm] =
> [mm]\vektor{(3a-e)x+3b-f \\ 2cx+2d \\ (a+e)x+b+f)}[/mm]
> glaube ich
Nun zu dem Problem wie die Matrix C aussieht. Diese baut sich aus den Eigenvektoren 1. und 2. Stufe auf.
Dann sieht hier das neue DGL-System so aus:
[mm]z'\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array} } \right)\;z[/mm]
Die Lösungen dieses Systems sind einfacher zu bestimmen.
Rücktransformation und Du erhältst die Lösungen für das ursprüngliche System.
Gruß
MathePower
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