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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 16.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Habe zwei relativ allgemeine Fragen zu Differentialgleichungen.
Erste:
Ich habe gerade in einem Buch gelesen, dass wenn ich mehrere gleiche(!) Nullstellen vom charakteristischen Polynom einer Differentialgleichung erhalte, dass ich dann Potenzen von x anhänken soll, damit die Lösungen eine Liniarkombination aus linear unabhängigen Lösungen sind.
Ich verstehe was das heisst und wie man das anwendet, nur würde ich gerne auch intuitiv verstehen wieso man das darf und soll?
...also wenn man die zwei Lösungen [mm] e^{2*x} [/mm] hat, dann schreibt man:
[mm] c1*e^{2*x} [/mm] + [mm] c2*x*e^{2*x} [/mm]
Klar kann ich es einsetzen und sehe, dass es eine Lösung der Differentialgleichung ist, auch wenn ich eine Potenz von x hinzufüge...nur ist denn dass so notwendig, dass die Linear unabhängig sein müssen? Muss es den soviele Lösungen geben? Wieso?
Zweite Frage: Ist es richtig, dass man die Lösungen von Differentialgleichungen einfach aus dem Grund addieren kann, weil man Summen getrennt ableiten kann, sodass beim einsetzten der Lösungen in die Differentialgleichung die Lösungen quasi paralell/getrennt voneinander mit ableiten behandelt werden. Das habe ich mir gedacht. Wollte fragen ob dass auch der ausreichende Beweis dazu ist.
Demfall würde es aber für nichtlineare(!) Differentialgleichungen mit dem Addieren der Lösungen nicht mehr funktionieren, da doch bei einer quadrierten Ableitung wie [mm] (y')^2, [/mm] wenn jeweils a und b eine Lösung sind, a und b als Binom faktorisiert würden.
Etwa so: (a' + [mm] b')^2 [/mm] = [mm] (a')^{2} [/mm] + [mm] 2*a'*b'+(b')^{2} [/mm] und nicht [mm] (a')^{2} [/mm] + [mm] (b')^{2} [/mm]
Gruss Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 So 17.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
...habe jetzt auch noch gesehen, dass bei einer Lösung vom Typ "Potenz von x" die zweite Lösung, falls die Exponenten gleich sind, mit einem ln(x) ergänzt wird:
[mm] c1*x^k [/mm] + [mm] c2*LN(X)*x^k
[/mm]
auch das ist mir nicht klar, wieso ln(x) und nicht was anderes?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Sa 23.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
...kann mir niemand erklären wieso das so ist, oder einen Link schicken mit dem Beweis, dass man Potenzen von x hinzufügen muss?
Und ist es so das man bei nicht-lineare Differentialgleichungen die Lösung nicht addieren kann zu einer Gesamtlösung?
DaNkE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 So 24.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Christian,
da sprichst Du ein komplexes Kapitel an, das man nicht so einfach mit zwei Zeilen beantworten kann.
Allgemein sucht man für eine DGL so viel unabhängige Lösungen wie möglich sind, wobei bei linearen DGLs der Grad der DGL die Maximalanzahl der unabhängigen Lösungen angibt. Bei diesen Betrachtungen spielt auch der Definitionsbereich der DGL eine Rolle,es kann durchaus Bereiche geben, in denen es weniger als n unabhängige Lösungen gibt.
Um von einer Lösung aus eine weitere unabhängige zu gewinnen, ist die Multiplikation mit x oder Potenzen davon die einfachste Methode. Für die lineare Unabhängigkeit von Funktionen, muss ja gegeben sein, dass die Summe über diese Funktionen, die jeweils mit einer Konstanten gewichtet werden, Null ergeben soll (den Ansatz dazu hast Du ja schon hingeschrieben) und dies nur dann erfüllbar ist, wenn diese Konstanten dabei den Wert Null annehmen. Für den jeweiligen Satz von Funktionen, die zu einer mehr als einfachen Nullstelle des charalteristischen Polynoms gehören, ist diese Bedingung erfüllt. Stichworte hierzu sind die Wronski-Determinante sowie die Methoden zum Nachweis linearer Unabhängigkeit von Funktionen, bei Wikipedia findest Du einiges dazu.
Was Deine zweite Frage anbelangt, so hast Du recht mit Deiner Aussage. Bei nichtlinearen DGLen ist so eine einfache Summation nicht mehr möglich.
Viele Grüße,
Infinit
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