Differentialgleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 19.01.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo ich würde gerne mal wissen wie man an diese Aufgabe ran geht
y'' + y = 0
man soll eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung bestimmen
Danke
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Also so richtig schlau konnte ich daruas nicht werden. Was mir dazu einfällt ist, dass eine Funktion gesucht wird, die zweimal abgeleitet wieder die Ausgangsfunktion ergibt, das kann ich mir nur so vorstellen
y=y''
wenn [mm] y=e^{-x}
[/mm]
dann ist [mm] y'=-e^{-x}
[/mm]
und y'' ware dann wieder = -(- [mm] e^{-x})
[/mm]
Kann ja sein, dass was ganz anderes gemeint ist, vielleicht auch was mit trigonometrischen Funktionen. Oder ich bin eben ganz auf dem Hozweg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Mi 19.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
hier kommt es natürlich darauf an, was für vorkenntnisse ihr bezüglich differentialgleichungen habt - kann zum beispiel vorrausgesetzt werden, dass es nur zwei linear unabhängige lösungen geben kann? wisst iht, dass lineare, homogene differentialgleichungen stetst lösungen der form [m] y =c\, \textrm{e}^{\lambda x} [/m] mit [m]c, \lambda \in \mathbb{C} [/m] haben?
dann man hier ja mal den ansatz [m] y = c \, \textrm{e}^{\lambda x} [/m] machen. leitet man dies zweimal ab und setzt $y$ und $y''$ wieder in die differentialgleichung ein, so erhält man die bedingung [m] \lambda^2 = -1 [/m] und somit zwei linearunabhängige lösungen, die dann auch zu den bekannten lösungen [m] y = \sin x [/m] und [m] y = \cos x [/m] führen!
probiere doch mal, ob due die rechnung selbst hin kriegst, sonst kannst du dich ja nochmal melden!
grüße
andreas
ps gabyaila kommt auf ein anderes ergebnis, da sie ein "-" unterschlagen hat.
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