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| Aufgabe | 1. Lösen Sie das Anfangswertproblem
y'= [mm] e^{y}*sin(x), [/mm] y(0) = [mm] y_{0}.
[/mm]
Für welche Anfangswerte [mm] y_{0} [/mm] existiert die Lösung auf ganz [mm] \IR? [/mm] Für welche Anfangswerte [mm] y_{0} [/mm] ist die Lösung auf ihrem größt möglichen Existenzintervall um 0 beschränkt?
2. Zeigen Sie direkt (d.h. ohne Forster, § 11, Satz 1 zu benutzen), dass die
Funktionen y(x) = 1/(c − x) bzw. y =0 die einzigen Lösungen der Differentialgleichung y'= [mm] y^{2} [/mm] auf einem Intervall sind. |
Hallo
1.Mittels Trennung der Variablen folgt
[mm] dy/e^{y}=sin(x)dx [/mm] (auf beiden Seiten integrieren)
[mm] -e^{-y}=-cos(x) [/mm]
[mm] e^{-y}= [/mm] cos(x) (logarithmieren)
-y=ln(cos(x))
y=-ln(cos(x))
AwP y(0)=0 (da cos(0)=1 und ln(1)=0) plus [mm] y_{0} [/mm]
[mm] y=-ln(cos(x))+y_{0}
[/mm]
Ich verstehe nicht wie jetzt [mm] y_{0} [/mm] anzugeben ist. y(x) ist auch gar nicht definiert, falls cos(x)<1.
2. Forster, § 11, Satz 1 ist der Satz über Trennung der Variablen.(den darf ich nicht benutzen)
Mir fällt nichts ein, wie ich es direkt zeige.
mfg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Di 07.07.2015 | | Autor: | hippias |
> 1. Lösen Sie das Anfangswertproblem
> y'= [mm]e^{y}*sin(x),[/mm] y(0) = [mm]y_{0}.[/mm]
> Für welche Anfangswerte [mm]y_{0}[/mm] existiert die Lösung auf
> ganz [mm]\IR?[/mm] Für welche Anfangswerte [mm]y_{0}[/mm] ist die Lösung
> auf ihrem größt möglichen Existenzintervall um 0
> beschränkt?
>
> 2. Zeigen Sie direkt (d.h. ohne Forster, § 11, Satz 1 zu
> benutzen), dass die
> Funktionen y(x) = 1/(c − x) bzw. y =0 die einzigen
> Lösungen der Differentialgleichung y'= [mm]y^{2}[/mm] auf einem
> Intervall sind.
> Hallo
>
> 1.Mittels Trennung der Variablen folgt
>
> [mm]dy/e^{y}=sin(x)dx[/mm] (auf beiden Seiten integrieren)
> [mm]-e^{-y}=-cos(x)[/mm]
> [mm]e^{-y}=[/mm] cos(x) (logarithmieren)
> -y=ln(cos(x))
> y=-ln(cos(x))
> AwP y(0)=0 (da cos(0)=1 und ln(1)=0) plus [mm]y_{0}[/mm]
> [mm]y=-ln(cos(x))+y_{0}[/mm]
> Ich verstehe nicht wie jetzt [mm]y_{0}[/mm] anzugeben ist. y(x) ist
> auch gar nicht definiert, falls cos(x)<1.
Du darfst hier keinesfalls die Integrationskonstante vergessen. Mit dieser ist es unter gewissen Bedingungen moeglich, dass der Term im Logarithmus stets $>0$ ist.
>
> 2. Forster, § 11, Satz 1 ist der Satz über Trennung der
> Variablen.(den darf ich nicht benutzen)
> Mir fällt nichts ein, wie ich es direkt zeige.
Du kannst auf jeden Fall durch einsetzen nachrechnen, dass die beiden Funktionen die Gleichung loesen. Fuer die Umkehrung koennte man folgendes ausprobieren: Es gelte $y'= [mm] y^{2}$, $y\neq [/mm] 0$. Kann man nun vielleicht ein $c$ finden, sodass $(c-x)y$ konstant ist? Berechne dazu $((c-x)y)'$. Oder: Was ist [mm] $\frac{1}{y}$? [/mm] Ist es eine lineare Funktion? Berechne dazu [mm] $\left(\frac{1}{y}\right)'$. [/mm]
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> mfg zahlenfreund
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Hallo
> $ [mm] dy/e^{y}=sin(x)dx [/mm] $ (auf beiden Seiten integrieren)
> $ [mm] -e^{-y}=-cos(x) [/mm] $
> $ [mm] e^{-y}= [/mm] $ cos(x) (logarithmieren)
> -y=ln(cos(x))
> y=-ln(cos(x))
> AwP y(0)=0 (da cos(0)=1 und ln(1)=0) plus $ [mm] y_{0} [/mm] $
> $ [mm] y=-ln(cos(x))+y_{0} [/mm] $
> Ich verstehe nicht wie jetzt $ [mm] y_{0} [/mm] $ anzugeben ist. y(x) ist
> auch gar nicht definiert, falls cos(x)<1.
> Du darfst hier keinesfalls die Integrationskonstante vergessen. Mit dieser ist es unter gewissen Bedingungen moeglich, dass der Term im Logarithmus stets >0 ist.
Danke für den Tipp, dass habe ich geschafft
> Du kannst auf jeden Fall durch einsetzen nachrechnen, dass die beiden Funktionen die Gleichung loesen. Fuer die Umkehrung koennte man folgendes ausprobieren: Es gelte $ y'= [mm] y^{2} [/mm] $, $ [mm] y\neq [/mm] 0 $. Kann man nun vielleicht ein $ c $ finden, sodass $ (c-x)y $ konstant ist? Berechne dazu $ ((c-x)y)' $. Oder: Was ist $ [mm] \frac{1}{y} [/mm] $? Ist es eine lineare Funktion? Berechne dazu $ [mm] \left(\frac{1}{y}\right)' [/mm] $.
Einsetzen hat funktioniert. Nun zu anderen Richtung. Ich verstehe nicht ganz worauf du hinaus willst für die Umkehrung. Kannst du es vielleicht anders erklären?
(1/y)=c-x (1/y)'=-1
Es gilt [mm] y'=y^{2} [/mm] also [mm] y'/y^{2}=1
[/mm]
Lg zahlenfreund
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Di 07.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Ist y eine Lösung der DGL [mm] y'=y^2 [/mm] und ist y nicht die Nullfunktion, so setze
[mm] z(x):=\bruch{1}{y(x)}.
[/mm]
Zeige, dass gilt: z'(x)=-1.
Somit gibt es ein c [mm] \in \IR [/mm] mit: z(x)=-x+c
FRED
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