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Hallo Leute,
ich hätte ein paar Fragen zur richtigen Schreibweise bei den Lösungen von Differentialgleichungen. Vielleicht könnt Ihr mir weiterhelfen.
Wenn ich beispielsweise die DGL [mm] y'=-\frac{y}{x} [/mm] löse,
dann könnte würde ich ja mit Trennung der Variablen folgenderweise verfahren:
[mm] \int \frac{1}{y} [/mm] dy=- [mm] \int \frac{1}{x} [/mm] dx
ln |y|= -ln |x| + [mm] C_1
[/mm]
|y| = [mm] e^{-ln |x| + C_1}
[/mm]
|y| = [mm] e^{C_1}*\frac{1}{e^{ln |x|}}
[/mm]
Welche Pfeile muss man zwischen den Schritten benutzen <=> oder => ?
Würde man hier die Lösung dann einfach als [mm] y=C_2*\frac{1}{|x|} [/mm] angeben oder muss man auch beim x den Betrag auflösen?
Wenn ich hier jetzt den Bereich für [mm] C_2 [/mm] angebe, darf es dann nur [mm] (0,\infty) [/mm] sein? Wir haben sehr oft einfach [mm] \mathbb{R} [/mm] geschrieben, aber kann das nicht nachvollziehen, weil man doch den Betrag für y unter der Annahme auflöst, dass y nicht negativ wird? Wie würde eine vollständige Angabe aller Lösungen der DGL aussehen (was muss dabei sein)?
Dann gibt es ja auch diese Sache mit den Sonderlösung, die man am Anfang prüfen muss für y=0? Das heißt in diesem Fall würde man sagen es gibt eine Sonderlösung für y=0 und führt die Trennung der Variablen unter der Annahme [mm] y\not=0 [/mm] durch?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 19.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo Leute,
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> ich hätte ein paar Fragen zur richtigen Schreibweise bei
> den Lösungen von Differentialgleichungen. Vielleicht
> könnt Ihr mir weiterhelfen.
>
>
> Wenn ich beispielsweise die DGL [mm]y'=-\frac{y}{x}[/mm] löse,
> dann könnte würde ich ja mit Trennung der Variablen
> folgenderweise verfahren:
>
> [mm]\int \frac{1}{y}[/mm] dy=- [mm]\int \frac{1}{x}[/mm] dx
>
> ln |y|= -ln |x| + [mm]C_1[/mm]
>
> |y| = [mm]e^{-ln |x| + C_1}[/mm]
>
> |y| = [mm]e^{C_1}*\frac{1}{e^{ln |x|}}[/mm]
Am Ende machst du es dir unnötig kompliziert. Es gilt:
[mm] e^{\ln(x)}=x [/mm] für alle [mm] $x>0\$.
[/mm]
Was können wir also angeben?
> Welche Pfeile muss man zwischen den Schritten benutzen <=>
> oder => ?
Das ist eine berechtigte Frage. Soweit ich weiß ist beides
(strenggenommen) nicht richtig, aber wenn ich wählen müsste
würde ich wohl [mm] \Rightarrow [/mm] wählen. Aus diesem Grund benutze
ich auch ehrlich gesagt lieber [mm] \rightsquigarrow.
[/mm]
> Würde man hier die Lösung dann einfach als
> [mm]y=C_2*\frac{1}{|x|}[/mm] angeben oder muss man auch beim x den
> Betrag auflösen?
Das sieht schon besser aus.
> Wenn ich hier jetzt den Bereich für [mm]C_2[/mm] angebe, darf es
> dann nur [mm](0,\infty)[/mm] sein? Wir haben sehr oft einfach
> [mm]\mathbb{R}[/mm] geschrieben, aber kann das nicht nachvollziehen,
> weil man doch den Betrag für y unter der Annahme auflöst,
> dass y nicht negativ wird? Wie würde eine vollständige
> Angabe aller Lösungen der DGL aussehen (was muss dabei
> sein)?
Was meinst du mit "y darf nicht negativ sein"?
Solche Fälle betrachtet man zum Beispiel, falls bei unserer
Lösung eine Wurzel auftaucht etc..
> Dann gibt es ja auch diese Sache mit den Sonderlösung, die
> man am Anfang prüfen muss für y=0? Das heißt in diesem
> Fall würde man sagen es gibt eine Sonderlösung für y=0
> und führt die Trennung der Variablen unter der Annahme
> [mm]y\not=0[/mm] durch?
Du hast schon Recht, aber man behandelt hier zwei Fälle:
1) Sei $y=0$, dann folgt [mm] $y'=0\$ [/mm] und damit [mm] y=c\in\IR.
[/mm]
2) Sei [mm] $y\not=0$, [/mm] dann folgt ...
> Vielen Dank im Voraus!
Gruß
DieAcht
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> > Wenn ich hier jetzt den Bereich für [mm]C_2[/mm] angebe, darf es
> > dann nur [mm](0,\infty)[/mm] sein? Wir haben sehr oft einfach
> > [mm]\mathbb{R}[/mm] geschrieben, aber kann das nicht nachvollziehen,
> > weil man doch den Betrag für y unter der Annahme auflöst,
> > dass y nicht negativ wird? Wie würde eine vollständige
> > Angabe aller Lösungen der DGL aussehen (was muss dabei
> > sein)?
>
> Was meinst du mit "y darf nicht negativ sein"?
>
> Solche Fälle betrachtet man zum Beispiel, falls bei
> unserer
> Lösung eine Wurzel auftaucht etc..
>
Bei uns sagen wir immer $ [mm] \int \frac{1}{y}= [/mm] ln|y|$ und dann mittels e-Funktion [mm] e^{ln|y|}=|y| [/mm] und um dann nur noch nach y stehen zu haben muss man ja irgendwie eine Fallunterscheidung machen eigentlich, aber wir haben immer einfach so die Konstante festgelegt, dass die Funktion nicht negativ werden kann und damit den Betrag aufgelöst.
Verwendet man dann auch bei Angabe der allgemeinen Lösung für die Konstante diesen Definitionsbereich (nur positiv)?
Bei meiner Aufgabe z.B. aus dem Eingangspost ergibt es ja als allgemeine Lösung $ [mm] y=C_2\cdot{}\frac{1}{|x|} [/mm] $, müsste ich hier dann [mm] C_2 \in (0,\infty) [/mm] schreiben?
> > Dann gibt es ja auch diese Sache mit den Sonderlösung, die
> > man am Anfang prüfen muss für y=0? Das heißt in diesem
> > Fall würde man sagen es gibt eine Sonderlösung für y=0
> > und führt die Trennung der Variablen unter der Annahme
> > [mm]y\not=0[/mm] durch?
>
> Du hast schon Recht, aber man behandelt hier zwei Fälle:
>
> 1) Sei [mm]y=0[/mm], dann folgt [mm]y'=0\[/mm] und damit [mm]y=c\in\IR.[/mm]
> 2) Sei [mm]y\not=0[/mm], dann folgt ...
>
Ja dazu hätte ich auch noch eine Frage, wenn ich z.B. die DGL [mm] y'=\frac{x}{y} [/mm] nehme und dann im Verlauf auf [mm] y^2=x^2+C [/mm] kommen würde, hätte ich dann 2 verschiedene allgemeine Lösungen [mm] y_{a1}=\sqrt{x^2+C} [/mm] und [mm] y_{a2}=-\sqrt{x^2+C} [/mm] oder wie?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 20.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, du hast die 2 Lösungen, sonst hättest du ja für negative Anfangswerte keine Lösung.
Gruß leduart
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