Differentialgleichung über e^A < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Löse die Differentialgleichung y'=Ay indem sie [mm] e^A [/mm] ausreichnen |
Hallo!
Folgende Matrix:
[mm] \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
Jetzt berechne ich [mm] e^A [/mm] und krieg raus:
[mm] \begin{bmatrix}
cos(x) & (e^t)-1-(t^2)/2 & sin(x) \\
0 & e^t & 0 \\
-sin(x) & sin(x) & cos(x)
\end{bmatrix}
[/mm]
Wie komm ich jetzt von dieser Darstellung auf die "übliche" Darstellung von:
[mm] e^t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] e^{i*t} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + e^(-i*t) [mm] \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich geh davon aus, (wenn ich mich nicht verrechnet habe), dass es irgendwie über die Eulersche Formel geht, aber wie genau ich das anstellen soll erschließt sich mir nicht.
Besten Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 So 02.06.2013 | | Autor: | Lustique |
So wie ich das sehe, hast du [mm] $e^\mathbf{A}$ [/mm] falsch berechnet, denn WolframAlpha spuckt da was deutlich anderes aus. Ich weiß auch gerade nicht, wo da bei dir das $x$ in [mm] $e^\mathbf{A}$ [/mm] herkommen soll.
(Ich weiß ja nicht, wie viel ihr zur Matrixexponentialfunktion in der Vorlesung hattet, aber die Matrix lässt sich wunderbar diagonalisieren...)
Eine Lösung von [mm] $y'(x)=\mathbf{A}y(x)$ [/mm] ist übrigens [mm] $\exp(\mathbf{A}x)$, [/mm] und zwar wäre das eine Fundamentalmatrix, und damit bilden die Spalten ein Fundamentalsystem. Vielleicht reicht das schon, damit du selbst weiterkommst, aber vielleicht habe ich dich auch einfach falsch verstanden, daher ist das hier auch nur eine Mitteilung.
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Hallo Epsilongroesser0,
> Löse die Differentialgleichung y'=Ay indem sie [mm]e^A[/mm]
> ausreichnen
>
> Hallo!
> Folgende Matrix:
> [mm]\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Jetzt berechne ich [mm]e^A[/mm] und krieg raus:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
cos(x) & (e^t)-1-(t^2)/2 & sin(x) \\
0 & e^t & 0 \\
-sin(x) & sin(x) & cos(x)
\end{bmatrix}[/mm]
>
Das muss doch so lauten:
[mm]\begin{bmatrix}
cos(x) & e^t-\blue{\cos\left(t\right)} & sin(x) \\
0 & e^t & 0 \\
-sin(x) & sin(x) & cos(x)
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Wie komm ich jetzt von dieser Darstellung auf die
> "übliche" Darstellung von:
> [mm]e^t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]e^{i*t} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] +
> e^(-i*t) [mm]\begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich geh davon aus, (wenn ich mich nicht verrechnet habe),
> dass es irgendwie über die Eulersche Formel geht, aber wie
> genau ich das anstellen soll erschließt sich mir nicht.
>
Die Idee ist richtig.
Die Lösungsmatrix ist dann nach [mm]e^{t}, \ e^{i*t}, \ e^{-i*t}[/mm] zu sortieren.
Dann erhältst Du 3 Teilmatrizen deren Determinante jeweils 0 ist.
Der Rang der Teilmatrizen muss dann 1 sein. Somit kannst Du
aus diesen Teilmatrizen je eine Spalte als Eigenvektor auswählen.
> Besten Dank!
Gruss
MathePower
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Ok das heißt ich muss bei meiner Ausrechnung einen Fehler drinnen haben aber der wird sich schon finden lassen.
Danke dafür schon mal.
Was meinst du mit sortieren? Die Spalten der Matrix den richtigen e-Potenzen zuordnen? Oder wie kann ich das verstehen bzw. was sind die Teilmatrizen?
Ergänzend noch: Wenn ich nicht weiß wie die übliche Darstellung ist hab ich nur mit meiner Matrix alleine schon eine Fundamentalmatrix?
Das Umformen auf die altbekannte Form ist also nur möglich, wenn man weiß welche e-Potenzen vorkommen?
@Lustique:
Jap geht so natürlich auch. Da bei uns das Thema noch recht neu angefangen wurde sollte das BSP so gemacht werden um ein besseres Verständnis zu kriegen.
Und wie würde ich so etwas in Wolframalpha eingeben?
Besten Dank!
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Hallo Epsilongroesser0,
> Ok das heißt ich muss bei meiner Ausrechnung einen Fehler
> drinnen haben aber der wird sich schon finden lassen.
> Danke dafür schon mal.
>
> Was meinst du mit sortieren? Die Spalten der Matrix den
> richtigen e-Potenzen zuordnen? Oder wie kann ich das
> verstehen bzw. was sind die Teilmatrizen?
>
Nun, nach dem Du die Funktionen [mm]\cos\left(t\right)[/mm]
und [mm]\sin\left(t\right)[/mm] durch die komplexe Form ersetzt hast,
lässt sich die entstehende Matrix so schreiben:
[mm]A_{1}*e^{t}+A_{2}*e^{i*t}+A_{3}*e^{-i*t}[/mm]
, wobei [mm]A_{i}, \ i=1,2,3[/mm] die Teilmatrizen sind.
> Ergänzend noch: Wenn ich nicht weiß wie die übliche
> Darstellung ist hab ich nur mit meiner Matrix alleine schon
> eine Fundamentalmatrix?
>
Ja.
>
> Das Umformen auf die altbekannte Form ist also nur
> möglich, wenn man weiß welche e-Potenzen vorkommen?
>
Das muss man nicht wissen, da sich die auftretenden
trigonometrischen Funktionen durch ihre komlexe Form ersetzen lassen.
> @Lustique:
> Jap geht so natürlich auch. Da bei uns das Thema noch
> recht neu angefangen wurde sollte das BSP so gemacht werden
> um ein besseres Verständnis zu kriegen.
> Und wie würde ich so etwas in Wolframalpha eingeben?
>
>
> Besten Dank!
Gruss
MathePower
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Hallo,
> @Lustique:
> Jap geht so natürlich auch. Da bei uns das Thema noch
> recht neu angefangen wurde sollte das BSP so gemacht werden
> um ein besseres Verständnis zu kriegen.
> Und wie würde ich so etwas in Wolframalpha eingeben?
in diesem Beispiel könntest du einfach "matrixexp({{0,1,1},{0,1,0},{-1,1,0}}x})" bei WolframAlpha eingeben (NICHT "exp({{0,1,1},{0,1,0},{-1,1,0}}x})", denn dann wird es komponentenweise berechnet; daher auch das "deutlich anders" in meiner Mitteilung: Ich hatte mich erst genau dort vertan, dann aber nichts mehr geändert, weil dir sowieso schon von kompetenterer Seite her geholfen wurde).
Als vernünftiger Mathematica-Code wird das wohl nicht durchgehen, WolframAlpha akzeptiert es aber.
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