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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Anfangsprobleme durch Trennung der Variablen:
[mm] x^{4} [/mm] y' = 3-2y y(1) = 02 |
Hallo,
das grobe Prinzip einer solchen Aufgabe, verstehe ich, aber wenn es dann ums AWP geht, hakts...und auch schon vorher...
ich leg mal los:
[mm] x^{4} [/mm] y' = 3-2y umschreiben
[mm] x^{4} \bruch{dy}{dx} [/mm] = 3-2y *dx
[mm] x^{4} [/mm] dy= 3-2y *dx : 3-2y
[mm] \bruch{dy * x^{4}}{3-2y} [/mm] = dx : [mm] x^{4}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{3-2y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{ x^{4}}
[/mm]
nun das integral bilden/ziehen/machen/tun...k.a. wie man das nennt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2y}dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{ x^{4}}dx}
[/mm]
einzeln integrieren...
aus [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2y}dy} [/mm] wird Ln(3-2y) (konstante schreibe ich bei der anderen funktion hin)
und bei [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{ x^{4}}dx}
[/mm]
schreibe ich erstmal um:
[mm] \bruch{1}{ x^{4}} [/mm] wird zu [mm] x^{-4}
[/mm]
integrieren:
[mm] -\bruch{1}{ 3}x^{-3} [/mm] = [mm] -\bruch{x^{-3}}{ 3} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{ 3x^{3}} [/mm] +C
nun wieder gegenüber stellen:
Ln(3-2y) = [mm] -\bruch{1}{ 3x^{3}} [/mm] + C nun das ganze mal e^ nehmen um Ln aufzulösen
3-2y = [mm] e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C} [/mm] -3
-2y = [mm] e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C} [/mm] -3 : -2
y = [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C} -3}{-2}
[/mm]
Was habe ich bis hierhin falsch gemacht ?!? in der allgemeinen Lösung steht C nicht im exponent bei e^ ?!? aber wenn ich doch die ganze funktion mal e^ nehme, muss ich doch das +C mitnehmen ?!?
Und wie geht es weiter ?
Es soll y(1) = 02
soll ich nun machen :
y(x=1) = [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{ 3(1^{3})}+C} -3}{-2} [/mm] = 2 und dann ?!? auflösen und gucken ob das wirklich = 2 ist ? oder nach C auflösen und gucken welchen wert C annehmen muss ?
Gruß Rudi
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Bilde mal die Ableitung von [mm] $\ln(3-2y)$ [/mm] . Was fällt auf?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Potenzgesetzen