Differentialgleichung(Zerfall) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | U234 zerfällt mit der Zerfallskonstante [mm] \alpha_{1} [/mm] zu Th230. Das Element Th230 zerfällt mit der Zerfallskonstante [mm] \alpha_{2} [/mm] zu Ra226. [mm] f_{1}(t) [/mm] sei die Anzahl der U234 Atome zum Zeitpunkt t, [mm] f_{2}(t) [/mm] sei die Anzahl der Th230 Atome zum Zeitpunkt t.
Gib die Differentialgleichung für die Funktion [mm] f_{2} [/mm] an. Beachte, dass beim Zerfall von U234 Atomen jeweils Th230 Atome neu entstehen, während diese wiederum zerfallen.
Weise nach, dass [mm] f_{2}(t)=\bruch{\alpha_{1}}{\alpha_{2}-\alpha{1}}*n_{0}(e^{-\alpha_{1}t}-e^{-\alpha_{2}t}) [/mm] die Differentialgleichung zum Anfangswert [mm] f_{2}(0)=0 [/mm] löst. |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe Probleme, die Differentialgleichung aufzustellen.
Prinzipiell müsste ja gelten:
[mm] f_{2}'(t)=-\alpha_{2}*f_{2}(t)
[/mm]
Aber was muss ich in diesem Fall noch beachten? Ich denke, man muss das [mm] f_{2}(t) [/mm] irgendwie anders ausdrücken, um klarzumachen, dass auch wieder Atome entstehen, nur wie?
Es ist grade ziemlich dringend, also ich wär für eure Hilfe wirklich sehr dankbar!
Viele Grüße,
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
klar ist doch noch dass [mm] f1'=-\alpha_1 [/mm] *f1
klar ist dann auch, dass für das Folgeprodukt solange es nicht zerfällt gilt f2'=-f1' also [mm] f2'=\alpha_1*f1
[/mm]
wenn f2 nur zerfällt gilt [mm] f2'=-\alpha_2*f2
[/mm]
wenn beides zusammen passiert also [mm] f2'=\alpha_1*f1-\alpha_2f2
[/mm]
und die Dgl. von f1 ist unabhängig von f2, kann also allein gelöst werden.
dann f1 einsetzen und du hast deine Dgl.
homogene lösen, part. Lösg der inhomogenen raten, fertig.
nur noch Anfangsbed. einsetzen.
Gruss leduart
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Hallo,
was ich jetzt nicht verstehe, wo ist dort mathematisch berücksichtigt, dass die Kerne aus f1 ja auch wieder mit der zweiten Zerfallskonstante zerfallen?
Danke 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Kerne A, zu denen f1 gehört zerfallen ganz gleich ob das Folgeprodukt auch zerfällt oder nicht.
und bei dem Folgeprodukt B, zu dem dann f2 gehört ist sowohl die produktion durch A als auch der Zerfall nach C ja in der Dgl drin.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 17.04.2007 | | Autor: | artic3000 |
Danke, jetzt hab ichs verstanden
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