Differentialgleichung 2. Ord. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mo 18.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Wie löse ich folgende Differentialgleichung auf?
4y'' - 9y' = 0 |
Ich hätte einmal folgenden Ansatz gewählt:
[mm] 4\lambda^{2} [/mm] - [mm] 9\lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda*(4\lambda [/mm] - 9) = 0
[mm] \lambda1 [/mm] = 0
[mm] \lambda2= \bruch{9}{4}
[/mm]
Ist das ein richtiger Ansatz. Wenn ja, wie gehts dann weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mo 18.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja ist richtig.
Du musst aber wissen wie dieser Ansatz zustande kommt, dann weisst du auch wie du weiter machen kannst...was ist [mm] \lambda [/mm] und wieso ist es das...?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mo 18.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ok!
Hmm... Wie kommt des zustande! Du meinst des mit den Ableitungen von y?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mo 18.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Die [mm] \lambda [/mm] werden ja wohl nicht abgeleitet.
Der Ansatz ist ja eigentlich nicht [mm] a*\lambda^2 [/mm] + [mm] b*\lambda [/mm] +c = 0. Der Ansatz ist doch [mm] e^{\lambda*x} [/mm] . Du sagst dir: [mm] e^{\lambda*x} [/mm] ist die Lösung der Differentialgleichung. Daraus kommt erst die Gleichung mit dem Lambdas...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mo 18.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Setz ich dann beim [mm] e^{\lambda} [/mm] das Ergebnis 0 bzw. das andere für das lambda ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 18.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja! Aber du hasst dann noch Koeffizienten c1 und c2 zu bestimmen - im Falle eines Anfangwertproblems.
Aber du weisst wieso, dass man [mm] e^{\lamda * x} [/mm] als ansatz wählen kann?
Du solltest wissen, wie man die e-Funktion ableitet! Dann weisst du wie man auf das alles kommt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 18.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ich steig da jetzt ein wenig aus! Sorry! :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mo 18.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja also...
eigentlich ist der Ansatz nicht [mm] e^{\lambda * x} [/mm] sondern [mm] c*e^{\lambda * x}
[/mm]
Das c ist ein Koeffizient der beliebig variieren kann - je nach Anfangswertbedingung. Das Lambda variiert aber nicht, das ist wirklich ein fester Teil der Lösung.
Was sucht man? Man sucht eine Funktion y die eine Lösung der Differentialgleichung ist. Jetzt machst du den Ansatz,dass die Lösung die exponentielle von x und [mm] \lambda [/mm] ist. Jetzt setzt du diesen Ansatz in die DGL ein. Dafür musst du doch ableiten, oder? Denn du brauchst gewöhnlich y' und y''.
Die e-Funktion abgeleitet sieht doch so aus: [mm] \lambda*e^{\lambda * x}
[/mm]
Wie sieht sie ein zweites mal abgeleitet aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Jetzt sind hier [mm] \lambda [/mm] 1 + 2 verschieden.
Daher kann ich hier laut Formelsammlung den Ansatz nehmen:
y = c1 * [mm] c^{\lambda1 * x} [/mm] + c1 * [mm] c^{\lambda2 * x}
[/mm]
wenn ich für lambda 1 = 0 einsetze, dann bleibt c1 und hinten c2 * [mm] c^{\bruch{9}{4} * x}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt sind hier [mm]\lambda[/mm] 1 + 2 verschieden.
>
> Daher kann ich hier laut Formelsammlung den Ansatz nehmen:
>
> y = c1 * [mm]c^{\lambda1 * x}[/mm] + c1 * [mm]c^{\lambda2 * x}[/mm]
Was soll das c ? In der Formelsammlung steht sicher [mm]e[/mm]
>
> wenn ich für lambda 1 = 0 einsetze, dann bleibt c1 und
> hinten c2 * [mm]c^{\bruch{9}{4} * x}[/mm]
Die allg. Lösung lautet :
$y(x) = [mm] c_1+c_2e^{\bruch{9}{4} * x}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Stimmt, wieder ein blöder Fehler! Meinte natürlich e!
Aber es stimmt, super, danke! 
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