Differentialgleichung 1. Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Fr 10.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] \bruch{2-y' (x)}{3} [/mm] = y(x)
Untersuchen Sie, ob die Funktion g(x) = [mm] e^{-3x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] eine Lösung dieser Differentialgleichung ist. |
| Aufgabe 2 | Eine Population von Feldmäusen vermehre sich gemäß der Funktion f(t) (mit t = Zeit in Monaten und f(t) = Anzahl der Feldmäuse zum Zeitpunkt t). Außerdem gelte f' (t) = 0,07*f(t) für alle t [mm] \in [/mm] R.
a) Bestimmen Sie die Funktion f(t), wenn zum Ausgangszeitpunkt [mm] t_0 [/mm] = 0 die Population 170 Feldmäuse umfaßt.
b) Untersuchen, wie lange es dauert, bis sich die Population von 170 Mäusen auf 3000 Mäuse vergrößert hat.
c) Bei Ereichen einer Populationsgröße von 3000 Mäusen bricht die Population durch Überbevölkerung auf [mm] \bruch{1}{30} [/mm] ihrer Größe zusammen. Dann beginnt der Zyklus erneut.
Untersuchen Sie, wie lange es dauert, bis die Population wieder die Größe zum Ausgangszeitpunkt [mm] t_0 [/mm] von 170 Mäusen erreicht. Wie nage dauert ein vollständiger Zyklus? |
| Aufgabe 3 | Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen bzw. Anfangswertprobleme:
a) y'(x) + [mm] \bruch{y(x)}{x+1} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] ; y(0) = 1
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Moin,
zu 1 habe ich:
1. Schritt: Umformen / Variablen trennen
[mm] \bruch{2-y' (x)}{3} [/mm] = y(x)
2-y' (x) = 3*y(x)
2 - [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = 3y
2*dx - dy = 3y*dx
2*dx - 3y*dx = dy
dx = [mm] \bruch{dy}{2-3y}
[/mm]
2. Schritt Integral bilden
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2-3y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ dx}
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ln |-3y+2| = x + c
ln |-3y+2| = -3x -3c | e^
| -3y+2| = [mm] e^{-3x-3c}
[/mm]
-3y +2 = [mm] \pm e^{-3x-3c}
[/mm]
allgemeine Lösung
y = [mm] \pm \bruch{1}{3}*e^{-3x-3c} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Die Funktion g(x) = [mm] e^{-3x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ist keine Lösung der DGL, denn wo bleibt das - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ???
Oder???
zu 2.
2a)
1. Umformen / Variablen trennen
y' = 0,07*y
[mm] \bruch{dy}{dt}= [/mm] 0,07*y | *dt
[mm] \bruch{100*dy}{7y} [/mm] = dt
2. Integral bilden
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{100}{7}*\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ dt}
[/mm]
[mm] \bruch{100}{7}*(ln [/mm] y) = t + c
ln y = [mm] \bruch{7}{100}t [/mm] + [mm] \bruch{7}{100}c [/mm] | e^
allgemeine Lösung
y = [mm] e^{\bruch{7}{100}t + \bruch{7}{100}c}
[/mm]
gegeben: y(0) = 170
spezielle Lösung
170 = [mm] e^{\bruch{7}{100}c}
[/mm]
ln 170 = [mm] \bruch{7}{100}c
[/mm]
c = 73,37
y = [mm] e^{\bruch{7}{100}t + \bruch{7}{100}*73,37}
[/mm]
y = [mm] e^{\bruch{7}{100}t + 5,14}
[/mm]
2b)
Hier würde ich t ausrechnen, indem ich y=3000 in die spezielle Lösung einsetze:
3000 = [mm] e^{\bruch{7}{100}t + 5,14} [/mm] | ln
ln 3000 = [mm] \bruch{7}{100}t [/mm] + 5,14
t = 40,95 Monate.
2c)
Wenn zum Zeitpunkt t=40,95 die Population auf 1/30 zusammenschrumpft und ein neuer Zyklus beginnt. Dann würde ich die allgemeine Lösung nehmen und mit dem Wert y=100 starten. (???)
100 = [mm] e^{\bruch{7}{100}c}
[/mm]
ln 100 = [mm] \bruch{7}{100}c
[/mm]
c = 65,79
-> spezielle Lösung
y = [mm] e^{\bruch{7}{100}t + \bruch{7}{100}*65,79}
[/mm]
y = [mm] e^{\bruch{7}{100}t + 4,61}
[/mm]
Hier setze ich y=170 ein und erhalte die Zeitspanne für das Erreichen von 170 Mäusen...
170 = [mm] e^{\bruch{7}{100}t + 4,61}
[/mm]
ln 170 = [mm] \bruch{7}{100}t [/mm] +4,61
t= 7,51
Also würde ich folgern: ein gesamter Zyklus dauert
7,51 + 40,95 = 48,46 Monate.
???
zu 3.
Hier weiss ich nicht, wie ich die Variablen trennen soll...
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
Du kannst doch weiter umformen:
$$y \ = \ [mm] \pm \bruch{1}{3}*e^{-3x-3c} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] \ = \ [mm] \pm \bruch{1}{3}*e^{-3x}*e^{-3c} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] \ = \ [mm] \pm \bruch{1}{3}*e^{-3x}*\red{c^{\star}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] \ = \ [mm] \red{k}*e^{-3x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}$$
[/mm]
Und, ist die genannte Funktion nicht doch wie oben darstellbar?
Es wäre auch viel einfacher gewesen, von $y \ = \ [mm] e^{-3x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}$ [/mm] die Ableitung zu bilden und anschließend in die DGL einzusetzen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
Wie bei der anderen Aufgabe erst umformen zu: $y(t) \ = \ [mm] k*e^{0.07*t} [/mm] \ = \ [mm] y_0*e^{0.07*t}$ [/mm] . Damit wird die nachfolgende Rechnung einfacher ...
$$y(t) \ = \ [mm] 170*e^{0.07*t}$$
[/mm]
Deine Rechnungen und Zahlenwerte stimmen in etwa (von Rundungsfehlern abgesehen).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
Löse zunächst die homogene DGL $y'*(x+1)+y \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 15.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Muss ich bei inhomogenen Differentialgleichungen also immer zuerst die homogene Differentialgleichung lösen?
zu Aufgabe 3
Variablen trennen + Integral bilden
y' + [mm] \bruch{y}{x+1} [/mm] = 0
y' * (x+1) +y = 0
[mm] \bruch{dy}{dx}*(x+1) [/mm] + y*dx = 0
[mm] \bruch{1}{y}dy [/mm] + [mm] \bruch{1}{x+1}dx [/mm] = 0
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy} [/mm] = - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+1} dx}
[/mm]
ln |y| = - (ln |x+1| +c) | e^
|y| = [mm] e^{-(ln|x+1| +c)}
[/mm]
|y| = [mm] e^{-ln|x|}*e^{-c}
[/mm]
|y| = - [mm] |x+1|*e^{-c}
[/mm]
y = [mm] \pm (x+1)*e^{-c}
[/mm]
k = [mm] \pm e^{-c}
[/mm]
y = k*(x+1)
Stimmt das soweit? Wie muss ich weitermachen?
Danke & Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 15.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
ok. also wäre
y' (x) + [mm] \bruch{y(x)}{x+1} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] ; y(0) = 1
1. Lösen der homogenen Gleichung
y' (x) + [mm] \bruch{y(x)}{x+1} [/mm] = 0
[mm] \bruch{dy}{dx}*(x+1) [/mm] +y = 0
[mm] \bruch{1}{y}*dy [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x+1}*dx
[/mm]
2. Integral bilden
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy} [/mm] = - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+1} dx}
[/mm]
ln |y| = - (ln x + |x+1 |+c) | e^
|y| = [mm] e^{- (ln|x+1|) +c}
[/mm]
|y| = [mm] e^{- ln|x+1|}*e^{-c}
[/mm]
|y| = [mm] e^{(ln|x+1|)^{-1}}*e^{-c}
[/mm]
|y| = [mm] |x+1|^{-1}*e^{-c}
[/mm]
Allgemeine Lösung (homogen)
y = [mm] \pm \bruch{1}{x+1}*e^{-c}
[/mm]
k = [mm] \pm *e^{-c}
[/mm]
y = [mm] k*\bruch{1}{x+1}
[/mm]
(fortsetzung folgt) 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Das stimmt soweit!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mi 15.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
Hallo Loddar! Danke!
Weiter geht's.
Ich kann noch den Anfangswert in die Allgemeine Lösung der homogenen DGL einsetzen und so die Spezielle Lösung der homogenen DGL berechnen.
Weiss allerdings nicht, ob das in der Aufgabenstellung gefordert ist.
y = [mm] k*\bruch{1}{x+1}
[/mm]
1 = [mm] k*\bruch{1}{0+1}
[/mm]
k=1
Spezielle homogene Lösung
y = 1* [mm] \bruch{1}{x+1}
[/mm]
***
1. Lösung für inhomogene DGL ermitteln
dazu Allgemeine Lösung nehmen und ableiten
ACHTUNG: nach Produktregel, da k hier variiert!!
y = [mm] k*\bruch{1}{x+1} [/mm]
Bilde y ' mithilfe der Produktregel
y ' = k ' * [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] + k*(- [mm] \bruch{1}{(x+1)^2})
[/mm]
2. y und y ' in inhomogene DGL einsetzen
y ' + [mm] \bruch{y}{x+1} [/mm] = [mm] e^{-1}
[/mm]
k ' [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] - [mm] \bruch{k}{(x+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{k}{x+1}}{x+1} [/mm] = [mm] e^{-1}
[/mm]
k ' * [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] = [mm] e^{-1}
[/mm]
[mm] \bruch{dk}{dx} [/mm] = [mm] (x+1)*e^{-1}
[/mm]
dk = [mm] e^{-1}*(x-1) [/mm] dx
3. Integral
[mm] \integral_{}^{}{1 dk} [/mm] = [mm] e^{-1} \integral_{}^{}{(x+1) dx}
[/mm]
k = e1{-1} [mm] (\bruch{1}{2}*x^2 [/mm] +x +c)
4. Ergebnis wiederum in Allgemeine Lösung homogene DGL einsetzen
y = [mm] e^{-1}*(\bruch{1}{2}*x^2 [/mm] +x [mm] +c)*\bruch{1}{x+1}
[/mm]
5. Spezielle Lösung inhomogene DGL mit y(0) = 1
1 = [mm] e^{-1}*(\bruch{1}{2}*0^2 [/mm] +0 [mm] +c)*\bruch{1}{0+1} [/mm]
1 = [mm] e^{-1}*c
[/mm]
c = e
=> y = [mm] e^{-1}*(\bruch{1}{2}*x^2 [/mm] +x [mm] +e)*\bruch{1}{x+1} [/mm]
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Hallo hase-hh,
> Hallo Loddar! Danke!
>
> Weiter geht's.
>
> Ich kann noch den Anfangswert in die Allgemeine Lösung der
> homogenen DGL einsetzen und so die Spezielle Lösung der
> homogenen DGL berechnen.
>
> Weiss allerdings nicht, ob das in der Aufgabenstellung
> gefordert ist.
Die Anfangsbedingung wird erst bei der
Bestimmung einer speziellen Lösung eingesetzt.
>
> y = [mm]k*\bruch{1}{x+1}[/mm]
>
> 1 = [mm]k*\bruch{1}{0+1}[/mm]
>
> k=1
>
> Spezielle homogene Lösung
>
> y = 1* [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm]
>
>
> ***
>
> 1. Lösung für inhomogene DGL ermitteln
> dazu Allgemeine Lösung nehmen und ableiten
>
> ACHTUNG: nach Produktregel, da k hier variiert!!
>
> y = [mm]k*\bruch{1}{x+1}[/mm]
>
> Bilde y ' mithilfe der Produktregel
>
> y ' = k ' * [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] + k*(- [mm]\bruch{1}{(x+1)^2})[/mm]
>
>
> 2. y und y ' in inhomogene DGL einsetzen
>
> y ' + [mm]\bruch{y}{x+1}[/mm] = [mm]e^{-1}[/mm]
>
> k ' [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] - [mm]\bruch{k}{(x+1)^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{\bruch{k}{x+1}}{x+1}[/mm] = [mm]e^{-1}[/mm]
>
> k ' * [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] = [mm]e^{-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dk}{dx}[/mm] = [mm](x+1)*e^{-1}[/mm]
>
> dk = [mm]e^{-1}*(x-1)[/mm] dx
>
> 3. Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{1 dk}[/mm] = [mm]e^{-1} \integral_{}^{}{(x+1) dx}[/mm]
>
> k = e1{-1} [mm](\bruch{1}{2}*x^2[/mm] +x +c)
>
> 4. Ergebnis wiederum in Allgemeine Lösung homogene DGL
> einsetzen
>
> y = [mm]e^{-1}*(\bruch{1}{2}*x^2[/mm] +x [mm]+c)*\bruch{1}{x+1}[/mm]
>
>
> 5. Spezielle Lösung inhomogene DGL mit y(0) = 1
>
> 1 = [mm]e^{-1}*(\bruch{1}{2}*0^2[/mm] +0 [mm]+c)*\bruch{1}{0+1}[/mm]
>
> 1 = [mm]e^{-1}*c[/mm]
>
> c = e
>
> => y = [mm]e^{-1}*(\bruch{1}{2}*x^2[/mm] +x [mm]+e)*\bruch{1}{x+1}[/mm]
Ok. Stimmt alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da stimmt die Umformung nicht. Es gilt:
