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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 25.10.2011 | | Autor: | kozlak |
| Aufgabe | Geg. ist die DGL (1+x)y'+ [mm] \bruch{2y}{1-x}=0
[/mm]
1) Gib den Definitionsbereich als Vereinigung von Intervallen an
2)Ermittle zu jedem Intervall die allg. Lösung des DGL, gib zudem das max. Definitionsintervall |
Hallo,
irgendwie verstehe ich wohl nicht ganz, was hier die Aufgabenstellung verlangt. Was heißt denn "Vereinigung der Intervalle"? Wie sieht das aus?
Habe zunächst umgeformt zu:
(1+x)y'+ [mm] \bruch{2y}{1-x}=0
[/mm]
y'= [mm] \bruch{-2y}{1-x^2} [/mm] , für x [mm] \not= \pm [/mm] 1
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{-2y}{1-x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y}=\bruch{-2dx}{1-x^2}, [/mm] für [mm] y\not= [/mm] 0 .
Somit Definitionsbereich des DLG D={R\ y=0, [mm] x=\pm [/mm] 1}
[mm] \integral\bruch{dy}{y}=-2\integral\bruch{dx}{1-x^2}
[/mm]
ln |y|=-2arctanh +c
-> y= [mm] e^{-2arctanh+c}, [/mm] für -1<x<1
ln |y|=-2arctanh +c
-> y= [mm] e^{-2arcoth+c}, [/mm] für [mm] -\infty
Ist das bisher okay? Was muss ich noch machen?
mfg,
kozlak
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Hallo kozlak,
> Geg. ist die DGL (1+x)y'+ [mm]\bruch{2y}{1-x}=0[/mm]
>
> 1) Gib den Definitionsbereich als Vereinigung von
> Intervallen an
> 2)Ermittle zu jedem Intervall die allg. Lösung des DGL,
> gib zudem das max. Definitionsintervall
> Hallo,
> irgendwie verstehe ich wohl nicht ganz, was hier die
> Aufgabenstellung verlangt. Was heißt denn "Vereinigung der
> Intervalle"? Wie sieht das aus?
>
> Habe zunächst umgeformt zu:
>
> (1+x)y'+ [mm]\bruch{2y}{1-x}=0[/mm]
> y'= [mm]\bruch{-2y}{1-x^2}[/mm] , für x [mm]\not= \pm[/mm] 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{-2y}{1-x^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y}=\bruch{-2dx}{1-x^2},[/mm] für [mm]y\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 .
> Somit Definitionsbereich des DLG D={R\ y=0, [mm]x=\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
Hmm, so ganz genau ist mir auch nicht klar, was die mit Definitionsbereich meinen? Den, für die die Dgl definiert ist? Oder den der (einer) Lösungsfunktion?
Ich würde meinen, dass die Dgl. für [mm]x\neq 1[/mm] definiert ist und dass [mm]y_1:(-\infty,1)\to\IR, y\mapsto 0[/mm] und [mm]y_2:(1,\infty)\to\IR, x\mapsto 0[/mm] die Dgl. ja auch trivial lösen ...
>
>
>
> [mm]\integral\bruch{dy}{y}=-2\integral\bruch{dx}{1-x^2}[/mm]
> ln |y|=-2arctanh +c
> -> y= [mm]e^{-2arctanh+c},[/mm] für -1<x<1
> ln |y|=-2arctanh +c
> -> y= [mm]e^{-2arcoth+c},[/mm] für [mm]-\infty
Puh, lass das doch mit dem komischen [mm]\operatorname{arctanh}[/mm]-Dingens.
Ich würde schreiben: [mm]\frac{1}{y} \ dy \ = \ \frac{2}{x^2-1} \ dx[/mm]
Und rechterhand PBZ machen:
[mm]\frac{2}{x^2-1}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}-\frac{B}{x+1}[/mm]
Das führt zu (nachrechnen!)
[mm]\int{\frac{1}{y} \ dy} \ = \ \int{\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right) \ dx}[/mm]
Also [mm]\ln(|y|) \ = \ \ln(|x-1|)-\ln(|x+1|)+c[/mm]
Also [mm]y=\hat c\cdot{}\frac{x-1}{x+1}[/mm]
>
>
> Ist das bisher okay? Was muss ich noch machen?
>
> mfg,
> kozlak
Gruß
schachuzipus
</x<1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 25.10.2011 | | Autor: | kozlak |
Hallo.
Ja,ja....die gute Partialbruchzerlegung. Hatte die total vergessen. Vielen Dank für den Hinweis!
Hatte zu 1) vergessen zu schreiben, nach der Definitionsbereich der DGl ist gefragt.
zu2) Verstehe ich nicht. Gibt es etwa unterschiedliche allg. Lösungen für die Intervalle?
mfg,
kozlak
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Hallo kozlak,
> Hallo.
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> Ja,ja....die gute Partialbruchzerlegung. Hatte die total
> vergessen. Vielen Dank für den Hinweis!
>
>
> Hatte zu 1) vergessen zu schreiben, nach der
> Definitionsbereich der DGl ist gefragt.
> zu2) Verstehe ich nicht. Gibt es etwa unterschiedliche
> allg. Lösungen für die Intervalle?
>
Genau so ist es.
> mfg,
> kozlak
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 26.10.2011 | | Autor: | kozlak |
Hallo,
muss doch noch einmal nachfragen. Also irgendwie ist mir immer noch nicht klar, wie das geht?
Habe jetzt als Intervallvereinigung das hier: ] - [mm] \infty, -1[\cup [/mm] ]-1,1[ [mm] \cup [/mm] ]1, [mm] \infty [/mm] [. Jetzt stelle ich mich aber bei der Findung der jeweiligen allg. Lösung an.
mfg,
kozlak
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Hallo kozlak,
> Hallo,
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> muss doch noch einmal nachfragen. Also irgendwie ist mir
> immer noch nicht klar, wie das geht?
>
> Habe jetzt als Intervallvereinigung das hier: ] - [mm]\infty, -1[\cup[/mm]
> ]-1,1[ [mm]\cup[/mm] ]1, [mm]\infty[/mm] [. Jetzt stelle ich mich aber bei
> der Findung der jeweiligen allg. Lösung an.
>
Für jedes Teilintervall ist die allgemeine Lösung der DGL anzugeben.
> mfg,
> kozlak
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 27.10.2011 | | Autor: | kozlak |
Hallo,
tut mir leid, aber ich stehe anscheinend auf dem Schlauch.
Für mich wären für alle drei Intervalle die allg. Lösung [mm] y=c*ln|\bruch{x+1}{x-1}|. [/mm] Für [mm] ]\infty,-1[ [/mm] und [mm] ]1,\infty[ [/mm] können allerdings die Betragstriche weggelassen werden. Ist das gemeint?
mfg,
kozlak
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Hallo kozlak,
> Hallo,
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> tut mir leid, aber ich stehe anscheinend auf dem Schlauch.
> Für mich wären für alle drei Intervalle die allg.
> Lösung [mm]y=c*ln|\bruch{x+1}{x-1}|.[/mm] Für [mm]]\infty,-1[[/mm] und
> [mm]]1,\infty[[/mm] können allerdings die Betragstriche weggelassen
> werden. Ist das gemeint?
>
Ja.
Genau genommen können nur für x > 1 die Betragsstriche weggelassen werden.
>
> mfg,
> kozlak
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Do 27.10.2011 | | Autor: | kozlak |
Vielen Dank für die Hilfe!!
mfg,
kozlak
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