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Hallo,
ich hab eben eine Aufgabe zur Klausurvorbereitung gerechnet und bin mir sehr unsicher ob ich das richtig gemacht habe. Hier erst mal die Aufgabe:
Bestimmen Sie die Lösung x(t) des Anfangswertproblems
[mm] x'=x^{2}*t+t-x^{2}-1
[/mm]
x(0)=0
Also, zum ersten weiß ich nicht so 100%ig was Anfangswertproblem zu bedeuten hat, ich denke mal das damit gemeint ist, dass man für t die Zahl Null einsetzen soll.
Aber wenn ich für alle t's 0 einsetze, bleibt nur [mm] x'=-x^{2}-1 [/mm] übrig. Die Differentialgleichung vorher schon auszurechnen (vor dem einsetzten) klappt bei mir auch nicht, da ich nicht alle x auf die eine und alle ts auf die andere Seite bekomme.
Kannst du mir da bitte weiterhelfen.
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
Bei einem "Anfangswertproblem" mußt Du schon zunächst die eigentliche DGL lösen. Dabei entsteht dann logischerweise ein Ausdruck mit einer Integrationskonstanten $C_$.
Und dieses $C_$ wird dann durch Einsetzen eines sogenannten "Anfangswertes" (hier: $x(t=0) \ = \ 0$ ) ermittelt.
Zum Lösen der DGL hier mal ein/zwei Umformungstipps:
$x' \ = \ [mm] x^2*t [/mm] + t - [mm] x^2 [/mm] - 1$
Zunächst einmal rechts etwas umsortieren und dann [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern:
$x' \ = \ [mm] x^2*t [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + t - 1 \ = \ [mm] x^2*(t-1) [/mm] + t - 1 \ = \ [mm] x^2*\blue{(t-1)} [/mm] + [mm] \red{1}*\blue{(t - 1)}$
[/mm]
Nun kann man auch noch den Term [mm] $\blue{(t-1)}$ [/mm] ausklammern:
$x' \ = \ [mm] x^2*\blue{(t-1)} [/mm] + [mm] \red{1}*\blue{(t - 1)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{(t-1)}*\left(x^2 + \red{1}\right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] (t-1)*\left(x^2 + 1\right)$
[/mm]
Kannst Du nun die Variablen zu Ende trennen und dann die DGL lösen?
Gruß
Loddar
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Also, ich hab jetzt weitergerechnet, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt (do kommt ein etwas seltsames ergebniss bei raus)
[mm] x'=(x^{2}+1)(t-1)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] dx = (t-1) dt
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{x^{2}+1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} [/mm] {(t-1) dt}
[mm] ln(x^{2}+1)= \bruch{1}{2}*t^{2}-t+c |e^{x}
[/mm]
[mm] x^{2}+1 [/mm] = [mm] e^{t^{2}-t+c}
[/mm]
x= [mm] \wurzel{e^{t^{2}-t+c}-1}
[/mm]
Und da ich aus dem Anfangswertproblem weiß, dass c=0 ist:
x= [mm] \wurzel{e^{t^{2}-t}-1}
[/mm]
Hab ich das richtig gerechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
das ist leider nicht ganz richtig, und zwar ist
[mm] \int \dfrac{1}{x^{2}+1}dx\neq ln(x^{2}+1)+C[/mm],
wie du, wenn du die rechte Seite mal ableitest, sofort sehen wirst.
Es ist
[mm] \int \dfrac{1}{x^{2}+1}dx = arctan(x)+C[/mm]. Das kannst du z.B. durch Substitution zeigen.
Gruß
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